Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus taʻlim vazirligi

1.3-tasdiq. Quyidagi uchta shart oʻrinli boʻladi.
1. , agar det(E-A)≠0, bu yerda E birlik matritsa,
2. operatori bilan belgilangan yagona qoʻzgʻalmas nuqtaga ega,
ya’ni
koʻrinishga ega.
3. quyidagi shaklga ega:

Ushbu tasdiqning 3- qismidan kelib chiqadiki, (1.6) dinamik sistemaning asosiy masalasiga javob berish uchun ning dagi limitini bilish kerak. Bu masala A matritsani dioganallashtirish orqali hal qilinadi.
n oʻlchamli Evklid fazoni bilan belgilaymiz. ning elementlari vektorlar boʻlib, ularni ustun ko‘rinishi quyidagicha:

Satr vektorini esa sifatida yozamiz, bunda . Bizning qiziqishimiz asosan quyi oʻlchamli sistemalarga qaratilganligi sababli, n odatda 2 yoki 3 boʻladi.
1.11-ta’rif. Agar boʻlsa berilgan akslantirish chiziqli deyiladi, bu yerda .
Eslatib oʻtamiz, A matritsa haqiqiy yoki kompleks sonlardan tashkil topgan kvadrat matritsa bo‘lib quyidagicha:
.
Bu yerda element A matritsaning i qatori va j ustunida joylashgan elementidir. Bizga matritsalar algebrasidan bir nechta ma’lumotlar kerak bo‘ladi. Agar va matritsa boʻlsa, u holda vector bo‘lib quyidagicha aniqlanadi:



Agar boshqa o‘lchamli matritsa boʻlsa, u holda ko‘paytma elementlari lar quyidagicha aniqlanuvchi yangi o‘lchamli matritsa hosil boʻladi:
.
Eslatib o‘tamiz, ko‘paytma boshqacha aniqlanadi, bu yerda

shuning uchun .
1.10-misol. boʻlsa,

boʻladi.

Chiziqli akslantirishlar va matritsalar algebrasi oʻrtasida yaqin bogʻliqlik mavjud. Haqiqatan ham, ning standart bazisini belgilayalik, ya’ni vektorda j-koordinata 1 ga teng va barcha qolgan koordinatalar nolga teng vektor. L akslantirish chiziqlili ekanligidan u basis orqali toʻliq aniqlanadi.

Ya’ni, j=1,2,…,n boʻlsa, biz barcha vektorlar uchun ni aniqlaymiz. Haqiqatan ham,

yozishimiz mumkin, bu yerda . Ya’ni
.
Demak, butunlay aniqlanadi.

Ustunlari boʻlgan o‘lchamli matritsa A boʻlsin. Bunda A quyidagicha:

.
U holda barcha x lar uchun ekanligi kelib chiqadi, bu chiziqli akslantirishlar va matritsalar chambarchas bogʻliqligini koʻrsatadi. Bunda A matritsaga L aklantirishning matritsa ko‘rinishi deb ataladi.