Ikki parabola orasidagi masofani topish

---

Ikki parabola orasidagi masofani topish
Muallif: Meylieva Umida
Ma‘lumot darajasi: Oliy ta‘lim
Tur: Maqola
Tavsif: Ikki parabola orasidagi masofani topish Ma’lumki, ayrim masalalar jumladan
tekislikdagi funksiyalar ya’ni, ikki parabola orasidagi masofani topishda ba’zi
qiyinchiliklarga duch kelamiz, ba’zan umuman topib bo’lmaydi degan xulosaga
kelamiz. Biz ushbu maqolada ikki parabola orasidagi eng qisqa masofani topib, tahlil
qilib o’tamiz. 1-masala. 1) y=kx+b tog’ri chiziq va unda yotmaydigan M=(x_(0,) y_0)
nuqta berilgan bo’lsin , tog’ri chiziqdan M nuqtagacha bo’lgan masofani topamiz.
Geometriyadan ma’lumki , nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan eng qisqa masofa
perpendikulyardir. y=kx+b . M=(x_(0,) y_0) (x,y) to’g’ri chiziq nuqtasi bo’lsin. U
holda masala ?(y-y_0)?^2+?(x-x_0)?^2=d^2 , y=kx+b ni yuqoridagi tenglamani
o’rniga qo’yib, f(x)=?(kx+b-y_0)?^2+?(x-x_0)?^2 funksiyaning eng kichik qiymatini
topishga keltiramiz va funksiyaning hosilasidan foydalanib , f^' (x)=2k(kx+b-y_0 )+2(x-
x_0 )=0 (1) k(kx+b-y_0 )+2(x-x_0 )=0 Faraz qilaylik, to’g’ri chiziqdan olingan
(x_1,y_1) nuqta (x_0,y_0 ) ga eng yaqin nuqta bo’lsa, u holda (x_1,y_1) nuqta (1) ni
qanoatlantirsin: y_1=kx_1+b k(y_1-y_0 )+(x_1-x_0 )=0 k•(y_1-y_0)/(x_1-x_0 )=-1
k_1=(y_1-y_0)/(x_1-x_0 ) son (x_(1,) y_1) va (x_(0,) y_0) nuqtadan o’tadigan to’g’ri
???????? 1 / 3

---

chiziq burchak koeffitsiyenti. Demak, k_1•k=-1 ekanligidan bu to’g’ri chiziqlar
perpendikulyarligi kelib chiqadi va quyidagiga teng: d=|kx_0+b-y_0 |/?(1+k^2 ) 2)
y=f(x) funksiya (egri chiziq) va unda yotmagan N(x_(1,) y_1) nuqta berilgan. Shu egri
chiziqqa M(x_(0,) y_0) nuqtaga eng yaqin nuqta N(x_(1,) y_1) bo’lsin. U holda MN
to’g’ri chiziq egri chiziqning N(x_(1,) y_1) nuqtasida o’tkazilgan urinmaga
perpendikulyar ekanligini ko’rsating. y=f(x) . N(x_(1,) y_1) g(x)=?(f(x)-y_0)?^2+?(x-
x_0)?^2 (2) g^' (x)=2(f(x)-y_0)f^' (x)+2(x-x_0 )=0 (x_(1,) y_1) 2(y_1-y_0 ) ?•f?^'
(x)=-2(x_1-x_0 ) f^' (x)•(y_1-y_0)/(x_1-x_0 )=-1 f^' (x)=k k?•k?_1=-1 3) Bizga ikki
parabola berilgan bo’lsin y=a_1 x^2+b_1 x+c_1 ; y=a_2 x^2+b_2 x+c_2 y ?=a_2
z^2+b_2 z+c_2 ? (y-y ?)?^2+?(x-z)?^2=d^2 f(x,z)=??(a?_1 x^2+b_1 x+c_1-a_2
z^2-b_2 z-c_2)?^2+?(x-z)?^2. f_x^'=0 ? f?_z^'=0 f_x^'=2?(a?_1 x^2+b_1 x+c_1-a_2
z^2-b_2 z-c_2)(2a_1 x+b_1 )+(x-z)=0 (3) f_z^'=?-2(a?_1 x^2+b_1 x+c_1-a_2
z^2-b_2 z-c_2)(2a_2 z+b_2 )-(x-z)=0 (4) 2?(a?_1 x^2+b_1 x+c_1-a_2 z^2-b_2 z-
c_2)( 2a_1 x+b_1-(2a_2 z+b_2 ))=0 k_1=k_2 2a_1 x+b_1=2a_2 z+b_2 z=(2a_1
x+b_1-b_2)/(2a_2 ) ni (3) ga qo’yib x ni topib uning yordamida, y ni ham topamiz.
Misol. y=-3x^2+8x-9 y=x^2+8x+13 funksiyalar grafiklari orasidagi eng qisqa masofani
toping. (?-3x^2+8x-9-y^2-8y-13)?^2+?(x-y)?^2=F (4) F_x^'=2(-3x^2+8x-
y^2-8y-22)(-6x+8)+2(x-y)=0 (5) F_y^'=2(-3x^2+8x-y^2-8y-22)(-2y-8)-2(x-y)=0 (6)
2(-3x^2+8x-y^2-8y-22)(-6x+8-2y-8)=0 2(-3x^2+8x-y^2-8y-22)(-6x-2y)=0 6x+2y=0
y=-3x ekanligidan, o’rniga qo’yib quyidagini topamiz:
2(-3x^2+8x-?9x?^2-24x-22)(-6x+8)+2(x+3x)=0 -4(-12x^2+32x-22)(-3x+4)+8x=0
8(6x^2-16x+11)(-3x+4)+8x=0 (6x^2-16x+11)(-3x+4)+x=0
-18x^3+48x^2-33x+24x^2-64x+44+x=0 -18x^3+72x^2-98x+44=0
18x^3-72x^2+98x-44=0 9x^3-36x^2+49x-22=0 x=1 yagona yechim ekanligidan, y=-3
va (4) ga qo’yib, ?F=2?5 kelib chiqadi. Demak, yuqoridagi berilgan ikki parabola
???????? 2 / 3

---

orasidagi eng qisqa masofa: d=2?5 ekan.
Til: O‘zbek tilida (lot.)
Nashr etilgan yili: 
UDK raqami: 
http://jspi.uz
 
???????? 3 / 3