Matematika analiz fanidan

2. Monoton ketma-ketlikning limiti haqida teoremalar.
2.1.3-terema.Agar _{ }ketma-ketlik o’suvchi bo’lib, yuqoridan chegaralangan
bo’lsa, u chekli limitga ega; agar ketma-ketlik yuqorida chegaralanmagan
bo’lsa, u holda ketma-ketlikning limiti _{ }bo’ladi.
Isbot. Avvalo ketma-ketlik o’suvchi va yuqoridan chegaralangan holni
qaraymiz. Ketma-ketlik o’suvchi va yuqoridan chegaralanganligiuchun shunday
o’zgarmas M son mavjudki, son uchun _{ }tengsizlik o’rinli bo’ladi.
bu esa ketma-keylik barcha hadlaridan tuzilgan _{ }to’plamning yuqoridan
chegaralanganligini ifodalaydi.
Aniq yuqori chegaraning ta’rifga ko’ra, birinchidan, to’plamning har bir
elementi uchun _{ } tengsizlik o’rinli bo’lsa, ikkinchidan _{ }olinganda ham
ketma-ketlik shunday hadi topiladiki, bu had uchun tengsizlik
o’rinli bo’ladi. Demak,

Qaralayotgan ketma-ketlik o’suvchi bo’lgani uchun tengsizlikni
qanoatlantiradigan barcha natural sonlar uchun tengsizlik o’rinli. Shu
sababli _{ } bo’lganda _{ } tengsizlik bajariladi.
Shunday qilib olinganda ham _{ }shunday son topiladiki,
bo’lganda _{ } tengsizlik bajariladi. Bu esa _{ }son ketma-ketlikning
limiti ekanini ko’rsatadi:
Endi ketma-ketlik o’suvchi bo’lib yuqoridan chegaralangan bo’lsin. Unda
har qanday katta musbat _{ } son olinganda ham ketma-ketlik shunday hadi
topiladiki, bu had bo’ladi. Ammo barcha lar uchun
tengsizlik o’rinli bo’lgani sababli tengsizlik ham bajariladi. Bu esa
bo’lishini bildiradi. Teorema isbotlandi.
2.1.4-teorema.Agar ketma-ketlik kamayuvchi bo’lib, quyidan
chegaralangan bo’lsa, u chekli limitga ega; agar ketma-ketlik quyidan
chegaralanmagan bo’lsa, u holda ketma-ketlikning limiti bo’ladi.
Isbot etilgan teoremalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
4-natija. O’suvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishi uchun, uning yuqoridan chegaralangan bo’lishi zarur va yetarli.
Haqiqatan, agar o’suvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, yaqinlashuvchi
ketma-ketliklarning chegaralangan bo’lishidan, uning yuqoridan chegaralanganligi
kelib chiqadi. Agar o’suvchi ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo’lsa, u isbot
etilgan 2.1.3-teoremaga asosan yaqinlashuvchi bo’ladi.