Matematika analiz fanidan

1-eslatma: Biz to’plamning aniq quyi chegarasi ketma-ketlikning
limit nuqtasi ekanini isbotladik. Endi dan katta birorta ham x son
_{ }ketma-ketlikning limit nuqtasi bo’la olmasligini ya’ni bu ketma-ketlikning
eng katta limit nuqtasi ekanini isbotlaymiz. son dan katta ixtiyoriy son bo’lsin. ni shunday kichik qilib olamizki, son ham dan katta bo’lsin. to’plamdan shunday nuqta topiladiki u dan chapdan yotadi. to’plamning kiritilishidan ko’ra nuqtaning atrofida ketma-ketlik ko’pi bilan chekli sonda elementlari yotadi. Bu esa soni limit nuqtasi bo’la olmasligini isbotlaydi.
1.9-ta’rif: ketma-ketlikning eng katta limit nuqtasi bo’lsin bu
ketma-ketlikning yuqori limiti deyiladi va kabi belgilanadi. Quyi limiti kabi belgilanadi.
Yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish haqida teorema.
(Balsano–Veyershtrass teoremasi). Ixtiyoriy chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
Isbot. Ketma-ketlik chegaralangan uchun u hech bo’lmaganda bitta limit
nuqta ga ega bo’ladi. Bu holda ketma-ketlikda nuqtaga yaqinlashuvchi
qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
1-eslatma: Ixtiyoriy chegaralangan ketma-ketlikdan monoton qismiy ketma-
ketlik ajratish mumkin. Haqiqatdan ham, Bolsano –Veyershtrass teoremasiga
asosan har qanday chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-
ketlik ajratish mumkin.
2-eslatma: chegaralangan ketma-ketlik bo’lib, uning elementlari esa [a,b]
kesmada yotsin deylik.
Bunda ixtiyoriy yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikning limiti c ham shu
[a,b] kesmada yotadi. Haqiqatdan ham, bo’lgani uchun
tengsizlik bajariladi. Bu esa _{ } ning [_{ }] segmentda yotishini ko’rsatadi.
Ayrim ixtiyoriy hollarda hatto chegaralanmagan ketma-ketlikdan ham
yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratish mumkin. Masalan
ketma-ketlik chegaralanmagan bunga qaramasdan juft nomerli elementlardan
tuzilgan qismiy ketma-ketlik yaqinlashuvchidir. Lekin har bir
chegaralanmagan ketma-ketlikdan ham yaqinlashuvchi qismiy katma-ketlik
ajratish mumkin bo’lavermaydi. Masalan 1,2,3,4,..., n,... ketma-ketligi
uzoqlashuvchidir. Shuning uchun ham hamma chegaralanmagan ketma-
ketliklardan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin degan
mulohoza umuman olganda to’g’ri emas.
1.18-teorema: Har bir chegaralanmagan ketma-ketlikdan cheksiz katta
qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
Isbot: chegaralanmagan ketma-ketlik bo’lsin. U holda bu ketma-ketlikning shartni qanoatlantiruvchi elementi, shartni qanoatlantiruvchi elementi topiladi. Shu yo’sinda cheksiz davom ettirsak ni hosil qilamiz. Ma’lumki qismiy ketma-ketlik cheksiz katta bo’ladi. Balsano-Veyershtrass teoremasidan quyidagilar kelib chiqadi.