Matematika analiz fanidan

1.5-teorema: Agar cheksiz kichik ketma-ketlikning hamma
elementlari biror c songa teng bo’lsa, u holda c=0 bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, , deb olamiz. Bu songa mos
keluvchi N nomerdan boshlab, tengsizlik bajariladi._{ }va ,
bo’lgani uchun, oxirgi tengsizlikni , deb qayta yozish mumkin, bundan _{ } Bu qarama-qarshilikdan , degan farazimiz o’rinli emasligi kelib
chiqadi. Demak c=0 ekan. Teorema isbotlandi.
Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar va ularning xossalari:
1.3-ta’rif: Agar, _{ } ketma-ketlik uchun shunday a soni mavjud bo’lsaki
ushbu ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlik bo’lsa, u holda
ketlik yaqinshuvchi deyiladi va a son ketma-ketlikning limiti deyiladi.
Agar shunday a soni mavjud bo’lsaki, har qanday musbat _{ } uchun shunday
N nomer ko’rsatish mumkin bo’lib, _{ } dan boshlab bu ketma-ketlikning
hamma elementlari tengsizlikni qanoatlantirsa u holda _{ }ketma-ketlik yaqinlashuvchi deyiladi.
Agar ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lib, a soni uning limiti bo’lsa bu holda quyidagicha yoziladi yoki da bo’ladi. Ushbu
ayirma cheksiz kichik ketma-ketlik ekanliginini bildiradi. Demak
limiti a bo’lgan har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlikning ixtiyoriy
elementi ko’rinishda bo’lishi mumkin, bunda -cheksiz kichik
ketma-ketlik elementidir.
1.6-teorema: Yaqinlashuvchi ketma-ketlik faqat bitta limitga ega.
Isbot. a va b yaqinlashuvchi ketma-ketlikning limiti bo’lsin. U holda yaqinlashuvchi ketma-ketlikning elementlari uchun ifodadan foydalanib , , ni yozamiz, , cheksiz kichik
ketma-ketlikning elementlari. Topilgan ifodalarni ayirib , ni
hosil qilamiz cheksiz kichik ketma-ketlikning hamma elementlari bitta
o’zgarmas qiymatga ega bo’lgani uchun yuqorida keltirilgan 1.1.5-teoremaga
asosan ya’ni tenglik hosil bo’ladi. Teorema isbotlandi .