Matematika analiz fanidan

1.1teorema:Ikki cheksiz kichik ketma-ketlikning yig’indisi yana cheksiz kichik ketma-ketlik bo’ladi.
Isbot. va cheksiz kichik ketma-ketliklar bo’lsin. ketma-
ketlikning cheksiz kichik ekanini isbot qilamiz. _{ } -ixtiyoriy musbat son, esa tengsizlik bajarilishi boshlangan, esa tengsizlik
bajarilishi boshlangan nomerlar bo’lsin. (bunday va cheksiz kichik ketma -
ketliklar ta’rifidan topiladi). Ikki son yig’indisining moduli ular modullari
yig’indisidan katta bo’lmaganligi uchun ya’ni
nomerlarning kattasini N orqali belgilab, ya’ni shu N
nomerdan boshlab, tengsizlik o’rinli ekanini chiqaramiz. Bu esa
ketma-ketlikning cheksiz kichik ekanligini ko’rsatadi. Teorema
isbotlandi.
1.2teorema: Ikki cheksiz kichik ketma-ketlikning ayirmasi yana cheksiz
kichik ketma-ketlik bo’ladi.
1.3-teorema: Cheksiz kichik ketma-ketliklar chegaralangandir.
Isbot. _{ }} Cheksiz kichik ketma-ketlik biror son bo’lsin. So’ngra
_{ } tengsizlik bajarilishi boshlangan nomer N bo’lsin. Ushbu N ta
sonning eng kattasini A deb belgilaymiz. Buni
quyidagicha yozish mumkin. . Ma’lumki
ixtiyoriy N nomer uchun tengsizlik bajariladi bu esa ketma-ketlikning
chegaralanganliginini ko’rsatadi. Teorema isbotlandi.
1.4-teorema: Chegaralangan ketma-ketlikning cheksiz kichik ketma-
ketlikka ko’paytmasi cheksiz kichik ketma-ketlikdan iborat.
Isbot. chegaralangan, -cheksiz kichik ketma-ketlik bo’lsin.
ketma-ketlik chegaralanganligi uchun shunday A>0 soni mavjudki, ixtiyoriy
element uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi. Ixtiyoriy musbat
sonini olamiz. ketma-ketlik cheksiz kichik bo’lganidan musbat son
uchun shunday N nomer ko’rsatish mumkinki, da tengsizlik
bajariladi. Bu holda da _{ } shuning uchun
ketma-ketlik cheksiz kichikdir. Teorema isbotlandi.
Natija: Ixtiyoriy chekli sondagi cheksiz kichik ketma-ketliklar
ko’paytmasi ham cheksiz kichik ketma-ketlik bo’ladi.
Ikki cheksiz kichik ketma-ketlikning nisbati ixtiyoriy turdagi ketma-ketlik bo’lishi
mumkin. Hatto ma’noga ega bo’lmasligi mumkin.
1.5-misol. , bo’lsa, ketma-ketlikning hamma elementi
birga teng bo’ladi. Agar desak, u holda ketma-ketlik cheksiz
katta va aksincha, agar _{ } desak, ketma-ketlik cheksiz kichik
ketma-ketlik bo’ladi. Agar ning cheksiz ko’p elementlari noldan iborat bo’lsa,
u holda nisbat ma’noga ega emas.