Matematika analiz fanidan

1.19-teorema: Mutlaqo ixtiyoriy ketma-ketlikdan yoki cheksiz katta yoki cheksiz kichik qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
1.10-misol: ketma-ketlik chegaralanganligini isbotlang.
Isbot. uchun: .Bu ketma-ketlik quyidan chegaralangan. _{ }bo’lib, undan Bu esa
ketma-ketlikning yuqoridan chegaralanganligini bildiradi va bu ketma-ketlik
chegaralangan.
1.11-misol: : ketma-ketlikning limiti 1 ga teng bo’lishini isbotlang.

Sifatida olinsa ( _{ }ga ko’ra topilib ) uchun bo’ladi. Bu esa bo’lishini bildiradi.
1.12-misol: ketma-ketlikning limiti 2 ga teng bo’lishini
isbotlang.

sifatida olinsa ( _{ }ga ko’ra topilib ) uchun bo’ladi. Bu esa bo’lishini bildiradi.
1.13-misol: : ketma-ketlikning limiti 1,5 ga teng bo’lishini isbotlang.
sifatida
olinsa ( ga ko’ra topilib ) uchun bo’ladi. Bu esa bo’lishimi bildiradi.

I Bob Monoton ketma-ketliklar va uning limiti tadbiqlari
2.1 Monoton ketma ketliklar va uning limiti
1. Monoton ketma-ketliklar. Biror berilgan bo’lsin.
2.1-ta’rif. Agar _{ }ketma-ketlikda son uchun tengsizlik
o’rinli bo’lsa, _{ }o’suvchi ketma-ketlik deb ataladi.
Agar son uchun yengsizlik o’rinli bo’lsa, _{ } qat’iy
o’suvchi ketma-ketlik deb ataladi.
Masalan, 1, 2, 2, 3, 3, 3, …. ketma-ketlik o’suvchi, _{ } ketma-ketlik esa qat’iy o’suvchi ketma-ketlikdir.
Agar ketma-ketlik o’suvchi bo’lsa, u quyidan chegaralangan bo’ladi. haqiqa-tan bu holda _{ }ketma-ketlikning istalgan hadi uchun tengsizlik o’rinli. Bu esa _{ }ketma-ketlikning quyidagi _{ }son bilan chegaralanganligini bildiradi.
2.2-ta’rif. . Agar _{ }ketma-ketlikda son uchun tengsizlik o’rinli bo’lsa, kamayuvchi ketma-ketlik deb ataladi.
Agar son uchun yengsizlik o’rinli bo’lsa, qat’iy
kamayuvchi ketma-ketlik deb ataladi. Masalan, ketma-ketlik kamayuvchi.Ushbu ketma-ketlik esa qat’iy kamayuvchi ketma-ketlikdir. Haqiqatan uchun bo’lib undan bo’lishi kelib chiqadi.
Agar ketma-ketlik kamayuvchi bo’lsa, u yuqoridan chegaralangan bo’ladi.
Haqiqatan, bu holda _{ }ketma-ketlikning istalgan hadi uchun tengsizlik
o’rinli. Bu esa _{ }ketma-ketlikning yuqoridan chegaralanganligini bildiradi.
O’suvchi va kamayuvchi ketma-ketliklar umumiy nom bilan monoton ketma-ketliklar deyiladi.
Monoton ketma-ketlikning chegaralanganligini aniqlash uchun, agar u o’suvchi
ketma-ketlik bo’lsa, uning yuqoridan, kamayuvchi ketma-ketlik bo’lsa, quyidan
chegaralanganligini aniqlash yetarli bo’ladi.