Matematika analiz fanidan

1.7-teorema:Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangandir.
1.8 -teorema: Yaqinlashuvchi _{ }va ketma-ketliklarning yig’indisi ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo’lib, uning limitlari _{ }va ketma-ketliklari limitlari yig’indisiga teng.
Isbot. a va b sonlar mos ravishda _{ }va ketma-ketliklarning limiti bo’lsin, u holda , bu yerda _{ }va cheksiz kichik ketma-ketlikdir. Demak, shunday qilib
ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlikdir va shuning
uchun ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti ga teng
bo’ladi.
1.9- teorema: Yaqinlashuvchi _{ }va ketma-ketliklar ayirmasi
yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo’lib uning limiti _{ }va _{ }ketma-ketliklar
limitlari ayirmasiga teng.
1.10-teorema: Yaqinlashuvchi _{ }va _{ } ketma-ketliklar ko’paytmasi
yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo’lib, uning limiti _{ }va ketma-ketliklar
limitlari ko’paytmasiga teng.
1.11-teorema. Agar cheksiz katta ketma-ketlik bo’lsa, u holda biror n
nomerdan boshlab ketma-ketlik aniqlangan va u cheksiz kichik bo’ladi.
1.12-teorema: Agar yaqinlashuvchi ketma-ketlikning elementlari biror nomerdan boshlab, tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda bu ketma-ketlikning limiti a ham tengsizlikni qanoatlantiradi.
Isbot. _{ } ketma-ketlikning elementlari biror nomerdan boshlab
tengsizlikni qanoatlantirsin, tengsizlikni isbot qilish talab etiladi. Faraz
qilaylik, a>b bo’lsin a soni ketma-ketlikning limiti bo’lgani uchun
uchun shunday N nomer ko’rsatish mumkinki: bo’lganda
tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlik ushbu ikki
tengsizlikka teng kuchli. Bu tengsizliklarning o’ng
tomonida turgan _{ }tengsizlikdan foydalanib, ga ega
bo’lamiz. Bu esa teorema shartiga zid ham shunga o’xshash chiqariladi.
Teorema isbotlandi.
Natija: Agar yaqinlashuvchi va ketma-ketlikning elementlari biror
nomerdan boshlab tengsizlikni qanoatlantirsa u holda ularning limitlari ham xuddi shunday tengsizlikni qanoatlantiradi. Ya’ni
va bo’lsa munosabat o’rinli bo’ladi.
1.13-teorema: va umumiy a limitga ega bo’lgan yaqinlashuvchi
ketma-ketlik bo’lsin. Bundan tashqari, biror nomerdan boshlab ketma-
ketlikning elementlari tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda
ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lib, a limitga ega bo’ladi.