Matematika analiz fanidan

5-natija. Kamayuvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishi uchun uning
quyidan chegaralangan bo’lishi zarur va yetarli.
M i s o l l a r. 1 Ushbu ketma-ketlikning limitini toping
Avvalo, bu ketma-ketlikning mavjudligini ko’rsatamiz.
Ravshanki,

Bundan barcha lar uchun _{   }tengsizlikning o’rinli ekani kelib chiqadi.
Bu esa berilgan ketma-ketlik kamayuvchi ekanini ko’rsatadi. Ketma-ketlikning har
bir hadi musbat, _{ }
Demak, u quyidan chegaralangan. Shunday qilib ketma-ketlik
kamayuvchi va quyidan chegaralangan. 2.1.4-teoremaga ko’ra bu ketma-ketlik
chekli limitga ega. Biz uni bilan belgilaylik:

Ravshanki, . Ushbu . Bernulli formulasidan
foydalanib topamiz:

Bundan esa kelib chiqadi. U holda

bo’lib, natijada quyidagi tengsizlikka kelamiz. Bu tengsizlikda limitga
o’tamiz: . Undan va _{ }ni hisobga olsak, _{ }ekani
kelib chiqadi. Demak,

2. Quyidagi

(a>0)ketma-ketlikning limitini toping.
Bu ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo’lasi
(*)
Shuni ko’rsatamiz. Ravshanki,

(*) munosabat n=k uchun o’rinli bo’lsin:

Deb uchun o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz:

Demak, matematik induksiya usuliga binoan, uchun

bo’ladi.
Ravshanki,

Endi _{ } nomer uchun tengsizlik bajarilgan deyilsa, bo’ladi.
Haqiqatan ham,

Demak, uchun bo’ladi. Bu esa berilgan ketma-ketlikning
o’suvchi ekanligini bildiradi. Monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi 2.1.3-
teoremaga ko’ra berilgan ketma-ketlik chekli limitga ega. Biz uni _{ } bilan belgilaylik: _{ }So’ngra tenglikda hadlab limitga o’tish amalini bajarib topamiz: yoki . Natijada _{ } ni toppish uchun
ushbu kvadrat tenglamaga kelamiz. Bu kvadrat tenglamaning
ildizlarini yozamiz:

Ketma-ketlikning hadlari musbat bo’lgani uchun son ketma-
ketlikning limiti bo’ladi.
Demak,

Xususan, ushbu

Ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti ga teng.