Matematika analiz fanidan

d) s o n i n i n g i r r a t s i o n a l l i g i
2.2-teorema. _{ }
Isbot. teskarisini faraz qilaylik: _{ }soni ratsional son bo’lsin, ya’ni u
qisqarmaydigan

kasr ko’rinishida yozilsin deylik.
Yuqorida isbot etilgan (2) tengsizliklarda k=q deb olaylik .
Natijada:

yoki
(3)
tengsizlikka ega bo’lamiz. Ravshanki, son butun musbat, shuningdek, son ham butun musbat. Shuni hisobga olsak, (3) tengsizlikning chap
tomonidagi ifoda butun musbat son bo’lishini topamiz. Ammo bu son q>1
tengsizlikka ko’ra 1 dan katta bo’ladi. ziddiyatlik hosil bo’ldi. Demak soni
irratsionaldir.Teorema isbotlandi.
2.ichmaich joylashgan segmentlar prinsipi.
2.3-teorema. Ikkita va ketma-ketlik berilagan bo’lsin. Agar
1) _{ }o’suvchi, _{ }kamayuvchi ketma-ketlik,
2) lar uchun,
3) bo’lsa _{ } va _{ }ketma-ketliklar yaqinlashuvchi va tenglik o’rinli bo’ladi.
Isbot. ketma-ketlik o’suvchi, ketma-ketlik esa kamayuvchi hamda
har bir uchun engsizlik o’rinli bo’lganidan, uchun
tengsizliklar bajariladi. Bu esa ketma-ketlik yuqoridan, ketma-ketlik
esa quyidan chegaralanganligini bildiradi. Monoton ketma-ketlikning
limiti haqidagi teoremalarga asosan va ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’ladi.
Demak, va lar mavjud. Shuning uchun

bo’lib, teoremaning uchinchi shartidan esa

bo’lishi kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
Isbot bo’lgan teoremadan muhim natija kelib chiqadi. Bu natijani keltirishdan
avval ichma-ich joylashgan segmentlar ketma-ketligi tushunchasi bilan tanishamiz.
Ma’lumki, to’plam segment deb atalar edi. Agar
bo’lsa, segment segmentning ichiga joylashgan
deyiladi.
Agar segmentlar ketma-ketligi quyidagi

munosabatda bo’lsa, bu segmentlar ichma-ich joylashgan segmentlar ketma-ketligi
deyiladi.