Matematika analiz fanidan

2.2. Monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremalarning tadbiqlari
1. _{ } s o n i.
a) s o n i n i n g t a ’ r i f i.
Quyidagi ;

ketma-ketlik berilgan bo’lsin. Bu ketma-ketlik limitning mavjudligini ko’rsatamiz.
Berilgan (1) ketma-ketlik bilan birga ushbu

ketma-ketlikni ham qaraymiz. Bu ketma-ketlik kamayuvchi. Haqiqatan,
Bernulli tengsizligiga asosan

bo’lishini hisobga olsak, natijada

tengsizlik kelib chiqdi. Bu ketma-ketlikning kamayuvchi ekanini anglatadi.
Ikkinchi tomondan ketma-ketlikning har bir hadi musbat
bo’lgani uchun u quyidan chegaralangan. Shunday qilib _{ } ketma-ketlik kamayuvchi va u quyidan chegaralangandir. 2.1.4- teoremaga ko’ra bu ketma-ketlik limitga ega.
Agar

tenglikdan tenglikning kelib chiqishini va _{ }ekanini
e’tiborga olsak, unda ga ega bo’lamiz. Bu esa (1) ketma-ketlik
limitning mavjudligini ko’rsatadi.
2.1-ta’rif. Berilgan ketma-ketlikning limiti _{ }soni deb ataladi:

Bunda lotincha exponenti-“ko’rsatish, ko’rsatgich, namoyish qilish “so’zining
dastlabki harfini ifodalaydi.
b) s o n i n i t a q r i b i y h i s o b l a sh. Sonini taqribiy hisoblash maqsadida _{ }ifodani Nyuton binomi formulasidan foydalanib quyidagicha yozib olamiz:

Agar



deb olsak:

ketma-ketlik uchun Qolaversa _{ }ning
yoyilmasidan, tengsizlikka ko’ra _{ } Shuning asosan _{ } soni tengsizlikni qanoatlantirad. Bu sonni
yanada aniqroq hisoblash uchun quyidagi mulohazalarni yuritamiz.
Yuqoridagi _{ }yig’indini quyidagicha yozib olamiz:

Bu tenglikning o’ng tomonida turgan yig’indining har bir hadida qatnashgan
ko’rinishdagi ko’paytuvchilarni undan katta
bo’lgan 1 bilan va

ko’rinishidagi ko’paytuvchilarni esa undan katta bo’lgan bilan almashtirib, _{ } yig’indi uchun ushbu
tengsizlikka kelamiz. Cheksiz kamayuv boruvchi geometrik progressiya barcha
hadlari yig’indisi formulasidan foydalanib(bunda birinchi had , maxraji ham _{ }bo’ladi) topamiz:

Shunday qilib,

va undan

tengsizliklarga ega bo’lamiz, _{ } da bu tengsizliklarda limitga o’tib topamiz:

Bu munosabat _{ } sonini taqribiy hisoblash imkonini beradi. Demak,

bo’lib bu taqribiy formulalarning xatosi dan oshmaydi. Masalan k=10 da

bo’lib, xatolik esa_{ }

bo’ladi._{ } sonining yanada aniqroq qiymati: