Matematik analizdan ma’ruzalar

2⁰. Ketma-ketlik limitining mavjudligi. Faraz qilay-lik, fazoda ketma-ketlik va nuqta berilgan bо‘lsin.

1-teorema. Agar fazoda

ketma-ketlik

limitga ega bо‘lsa;

,

u holda

bо‘ladi.
◄ Aytaylik

bо‘lsin. Limit ta’rifiga binoan uchun

bо‘ladi. Ravshanki,

bunda,

Keyingi munosabatlardan, uchun

ya’ni

bо‘lishini topamiz. Bundan esa

bо‘lishi kelib chiqadi.►

2-teorema. Agar fazodagi

ketma-ketlik va nuqta uchun

bо‘lsa, u holda ketma-ketlik limitiga ega bо‘lib,

bо‘ladi.

◄ Teoremaning sharti hamda limit ta’rifidan foyda-lanib topamiz:

bо‘ladi.

bо‘ladi.

........................................................................................

bо‘ladi.

Agar

deyilsa, unda da bir yо‘la

tengsizliklar bajariladi. U holda

ya’ni,

bо‘ladi. Demak,

.►

Bu teoremalardan quyidagi tasdiq kelib chiqadi.

fazoda ketma-ketlik limitga,

ega bо‘lishi uchun bir yо‘la

bо‘lishi zarur va yetarli.

Bu muhim tasdiq bо‘lib, u fazodagi ketma-ketliklar limitlarini о‘rganishni sonlar ketma-ketliklar limitlari-ni о‘rganishga olib keladi. Sonlar ketma-ketliklarning limiti esa 6-8-ma’ruzalarda batafsil bayon etilgan.

Agar (1) ketma-ketlik limitga ega bо‘lsa, u yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.

Yuqoridagi keltirilgan tasdiqdan foydalanib isbotlanadigan muhim teoremani keltiramiz. Avvalo fazoda ketma-ketlikning fundamentalligini ta’riflaymiz.

3-ta’rif. fazoda ketma-ketlik berilgan bо‘lsin. Agar olinganda ham, shunday topilsaki, , lar uchun

tengsizlik bajarilsa, fundamental ketma-ketlik deyiladi.