Matematik analizdan ma’ruzalar

О‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA О‘RTA

MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

MATEMATIK ANALIZDAN

MA’RUZALAR

II

5460100-Matematika,

Denov - 2021

12-BOB

KО‘P О‘ZGARUVCHILI FUNKSIYALAR, ULARNING LIMITI, UZLUKSIZLIGI

57-ma’ruza. fazo haqida.



(1)

fazoda ochiq va yopiq to‘plamlar

,

.

1⁰. fazo tushunchasi. Haqiqiy sonlar to‘plami yordamida ushbu

Agar , nuqtalar uchun , bo‘lsa, deyiladi.

Bunda sonlar nuqtaning mos ravishda birinchi, ikkinchi, ... , -koordinatalari deyiladi.

dan iborat bo‘ladi. Uni (1) to‘plamning nuqtasi deyilib, bitta harf bilan belgilanadi:

lar (1) to‘plamning ixtiyoriy ikki nuqtasi bo‘lsin. Ushbu

to‘plamni ( ning dekart ko‘paytmalaridan tuzilgan to‘plamni) hosil qilaylik. Ravshanki, (1) to‘plamning har bir elementi ta haqiqiy sonlardan tashkil topgan tartiblangan lik

Faraz qilaylik,

miqdor va nuqtalar orasidagi masofa deyiladi va kabi belgilanadi:

. (2)

Endi masofaning xossalarini keltiramiz:

1. 
   Har doim va bо‘ladi.
   

◄ (2) munosabatga kо‘ra, har doim bо‘ladi. Agar bо‘lsa, unda

bо‘lib, natijada , ya’ni bо‘lishi kelib chiqadi. Aksincha, agar bо‘lsa, unda (2) munosabatdan foydalanib bо‘lishini topamiz.►

2) masofa va ularga nisbatan simmetrik bо‘ladi: .

◄ Bu xossanig isboti (2) munosabatdan kelib chiqadi:

.►

3. 
   (1) tо‘plamning ixtiyoriy
   

, ,

nuqtalari uchun

tengsizlik о‘rinli bо‘ladi.

◄Ma’lumki, ixtiyoriy va haqiqiy sonlar uchun

(3)

bо‘ladi (qaralsin, [1], 12-bob, 1-§; odatda bu tengsizlikni Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deyiladi). (3) tengsizlikda

deb topamiz:

.

Bu esa

bо‘linishi bildiriladi.►

Shunday qilib, (1) tо‘plamda (tо‘plam elementlari orasida) masofa tushunchasining kiritilishini hamda masofa uchta xossaga ega bо‘lishini kо‘rdik.

Odatda, (1) tо‘plam fazo deyiladi. Demak,

.

Endi fazodagi ba’zi bir tо‘plamlarni keltiramiz.

Aytaylik, biror nuqta va son berilgan bо‘lsin.

Ushbu

qisqacha,

tо‘plam markazi nuqta, radiusi bо‘lgan shar ( о‘lchovli shar) deyiladi.

Quyidagi

tо‘plam fazoda yopiq shar,

tо‘plam esa, fazoda sfera ( о‘lchovli sfera) deyiladi.

Ravshanki,

bо‘ladi.

Ushbu tо‘plam fazoda parallelepiped deyiladi, bunda haqiqiy sonlar.