Matematik analizdan ma’ruzalar

3-teorema (Koshi teoremasi). ketma-ketlikning yaqinlashuvchi bо‘lishi uchun uning fundamental bо‘lishi zarur va yetarli.

Bu teorema 9-ma’ruzada keltirilgan 3-teorema kabi isbotlanadi.

3⁰. Ichma-ich joylashgan yopiq sharlar prinsipi. fazoda markazlari

nuqtalarda, radiuslari bо‘lgan ushbu

yopiq sharlar ketma-ketligini qaraylik. Agar bu yopiq sharlar ketma-ketligining hadlari uchun quyidagi

munosabat о‘rinli bо‘lsa, ichma-ich joylashgan yopiq sharlar ketma-ketligi deyiladi.

Aytaylik, fazoda ichma-ich joylashgan yopiq sharlar ketma-ketligi bо‘lsin.

4-teorema. Agar da shar radiuslari nolga intilsa, ya’ni

bо‘lsa, u holda barcha yopiq sharlarga tegishli bо‘lgan nuqta mavjud va u yagona bо‘ladi.

◄ Shar markazlaridan tuzilgan

ketma-ketlikni qaraylik. Uning fundamental ketma-ketlik bо‘lishini kо‘rsatamiz.

Shartga kо‘ra . Unda

bо‘ladi. Ayni paytda, yopiq sharlar ichma-ich joylashgan-ligidan ixtiyoriy

uchun

bо‘lib,

bо‘ladi.

Demak, fundamentalketma-ketlik. Unda Koshi teorema-siga kо‘ra u yaqinlashuvchi bо‘ladi:

Bu nuqta tо‘plamning limit nuqtasi va yopiq bо‘lganligi uchun bо‘ladi. Demak, barcha sharlarga tegishli bо‘lgan nuqta. Faraz qilaylik, nuqtadan farqli barcha sharlarga tegishli bо‘lgan nuqta mavjud bо‘lsin: . Masofaning 3-xossasidan foydalanib topamiz:

.

Agar da bо‘lishini e’tiborga olsak, keyingi munosabatdan , ya’ni bо‘lishi kelib chiqadi.►

Odatda, bu teorema ichma-ich joylashgan yopiq sharlar prinsipi deyiladi.