Matematik analizdan ma’ruzalar

3⁰. fazoda ochiq va yopiq tо‘plamlar. Aytaylik, fazoda biror tо‘plam berilgan bо‘lib, bо‘lsin.

Agar nuqta tо‘plamga tegishli bо‘lgan atrofga ega bо‘lsa, nuqta tо‘plamning ichki nuqtasi deyiladi.

3-ta’rif tо‘plamning har bir nuqtasi uning ichki nuqtasi bо‘lsa, u ochiq tо‘plam deyiladi.

1-misol. fazodagi ushbu

sharning ochiq tо‘plam ekanligi kо‘rsatilsin.

◄ nuqtani olamiz. Unda

miqdor musbat bо‘ladi. Uni deylik: . (22-chizma)

Endi nuqtaning ushbu

atrofini qaraymiz.

Bunda bо‘ladi. Haqiqatdan ham,

bо‘lib, masofaning 3)-xossasiga kо‘ra

bо‘ladi. Demak,

Bundan bо‘lishi kelib chiqadi.

Demak, tо‘plamning har bir nuqtasi uning ichki nuqtasi bо‘ladi. Binobarin, ochiq tо‘plam.►

Aytaylik, tо‘plam hamda nuqta berilgan bо‘lsin. Agar nuqtaning ixtiyoriy atrofida tо‘plamning dan farqli kamida bitta nuqtasi bо‘lsa, nuqta tо‘plamning limit nuqtasi deyiladi.

Masalan, ushbu

tо‘plamning har bir nuqtasi uning limit nuqtasi bо‘ladi. Ayni paytda,

tо‘plamning barcha nuqtalari ham shu tо‘plamning limit nuqtasi bо‘ladi. Biroq, bu limit nuqtalar tо‘plamga tegishli bо‘lmaydi.

4-ta’rif. Agar tо‘plamning barcha limit nuqta-lari shu tо‘plamga tegishli bо‘lsa, yopiq tо‘plam deyiladi.
Masalan,

tо‘plam ( fazodagi yopiq shar) yopiq tо‘plam bо‘ladi

Biror tо‘plam hamda nuqtani qaraylik.

Agar nuqtaning ixtiyoriy atrofida ham tо‘plamning, ham tо‘plamning nuqtalari bо‘lsa, nuqta tо‘plamning chegaraviy nuqtasi deyiladi. tо‘plamning barcha chegaraviy nuqtalari uning chegarasini tashkil etadi. tо‘plamning chegarasi kabi belgilanadi.

Masalan,

tо‘plam

tо‘plamning chegarasi bо‘ladi:

.

Agar tо‘plamning chegarasi shu tо‘plamga tegishli bо‘lsa, yopiq tо‘plam bо‘ladi.

Masalan,

yopiq tо‘plam bо‘ladi, chunki

.