Kо‘p о‘zgaruvchili funksiya va uning limiti 10. Kо‘p о‘zgaruvchili funksiya tushunchasi

3-teorema. Agar funksiya chegaralgan yopiq tо‘plamda uzluksiz bо‘lsa, funksiya shu tо‘plamda о‘zining aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralariga erishadi, ya’ni

bо‘ladi.

◄ Yuqoridagi teoremaga kо‘ra funksiya tо‘plamda chegaralangan bо‘ladi. Unda bu funksiya aniq chegaralarga ega:

.

Aniq yuqori chegara ta’rifiga kо‘ra

bо‘ladi. Ravshanki, chegaralangan ketma-ketlik bо‘lib, undan qismiy ketma-ketlik ajratish mumkinki,

da va (5)

bо‘ladi. Berilgan funksiyaning uzluksizligidan foydalanib topmiz:

da .

Ayni paytda,

da

bо‘lib, undan da

(6)

bо‘lishi kelib chiqadi.

(5) va (6) munosabatlaradan

bо‘lishini topamiz.

Xuddi shunga о‘xshash

bо‘lishi isbotlanadi.►

4-teorema. Faraz qilaylik. funksiya bog‘lamli tо‘plamda berilgan bо‘lsin.

Agar

1) funksiya da uzluksiz,

2)

nuqtalarda turli ishorali qiymatlarga ega

yoki

bо‘lsa, u holda shunday nuqta topiladiki

bо‘ladi.

◄ Aytaylik, funksiya bog‘lamli tо‘plamda uzluksiz bо‘lib,

bо‘lsin.

bog‘lamli tо‘plam. Binobarin, va nuqtalarni birlashtiruvchi va shu tо‘plamga tegishli siniq chiziq topiladi. Agar bu siniq chiziq uchlarini ifodalovchi nuqtalarning birida funksiya nolga aylansa teorema isbotlanadi.

Agar siniq chiziq uchlarida funksiya nolga aylanmasa, u holda siniq chiziqning shunday kesmasi topiladiki, uning bir uchi da , ikkinchi uchi da bо‘ladi.

Endi ni shu kesma



da qaraymiz. Unda

bо‘lib, bitta о‘zgaruvchiga bog‘liq funksiya hosil bо‘ladi. Bu funksiya segmentda uzluksiz va

bо‘ladi. Unda 16-ma’ruzada keltirilgan teoremaga kо‘ra, shunday nuqta topiladiki,

ya’ni

bо‘ladi. Agar

deyilsa, unda nuqtada

bо‘ladi.►

5-teorema. Faraz qilaylik, funksiya bog‘lamli tо‘plamda berilgan bо‘lsin. Agar

1) funksiya da uzluksiz,

2) nuqtalarda

qiymatlarga ega va bо‘lsa, u holda A bilan V orasida har qanday son olinsa ham, shunday nuqta topiladiki,

bо‘ladi.

◄Bu teorema yuqoridagi 4–teorema kabi isbotlanadi.►