1885 yilda mashxur nemis matematigi K. Veyershtrass tomonidan segmentda uzluksiz bo’lgan

1885 yilda mashxur nemis matematigi K.Veyershtrass tomonidan segmentda uzluksiz bo’lgan _funksiyani ko'pxad bilan yaqinlashtirish mumkinligi, boshqacha aytganda olinganda ham shunday _{ko’pxad mavjudki, unda} lar uchun

tengsizlik o’rinli bo’lishi ko’rsatildi.Biz Veyershtrass teoremasi haqida matematik analiz kursining “Funksional ketma –ketlik va qatorlar “ bobida batafsil gapiramiz.
Garchi Veyershtrass teoremasi funksiyani ko’pxad bilan yaqinlashtirish mumkinligini ifodalasa xam yaqinlashish xatoligini, yani ushbu

ayirmani baxolash imkonini va uning nolga intilish tartibini aniqlab bermaydi. Keyingi o’rganishlar ning nolga intilish tartibi yaqinlashtiriladigan funksiyaning xosilalariga ega bo’lishiga bog’liq ekanligini ko’rsatadi.Odatda xosilaga ega bo’lgan funksiya silliq funksiya de ataladi.
Modomiki silliq funksiyalarni ko’pxad bilan qulay yaqinlashtirish mumkin ekan , biror nuqtaning atrofida funksiyaning qator yuqori tartibli xosilalari mavjud bo’lgan xolda bu xosilalardan foydalanib , avvalo ko’pxadni tuzish va funksiyani bu ko’pxad bilan yaqinlashtirish masalasini qarash mumkin. Bu masalani xal qilishda Teylor formulasidan foydalaniladi.
Shuni aytish kerakki, xususiy xolda bunday masala bilan funksiya ottirmasi ni uning differensiali bilan taqribiy ifodalash jarayonida tanishgan edik ((6.17) ga qarang). Ma’lumki, funksiya da differensalanuvchi bo’lsa , uni quyidagi

ko’rinishda yozish mumki.Bu esa nuqtaning etarli kichik atrofidagi nuqtalarda funksiya ushbu

chiziqli funksiya (birinchi darajali ko’pxad ) bilan taqribiy ifodalanishi ko’rsatadi.
2.Ko’pxad uchun Teylor formulasi. Ushbu
(6.35)
(bunda va o’zgarmas haqiqiy sonlar , ) ko’pxadni qaraylik.Bu ko’pxadni ketma-ket marta differensiallab topamiz:
,
,
,
(6.36)
Bu (6.35) va (6.36) tengliklarda deb olinsa, unda berilgan ko’pxad va uning xosilalari ning nuqtadagi qiymatlari topiladi:
,
,
,
…………………… ,
,
Ulardan
,
,
,
………………… , (6.37)
.
kelib chiqadi.
Shunday qilib , ko’pxadning koeffitsentlari ko’pxad va uning xosilalarining nuqtadagi qiymatlari orqali ifodalandi. Koeffitsentlarning bu qiymatlarini (6.35) ga qo’ysak, unda
(6.38)
bo’ladi. Bu ko’pxad (6.35) ko’pxaddan koeffisentlarining yozilishi bilangina farq qiladi.
(6.38) formula ko’pxad uchun Teylor formulasi deb ataladi.
3. Ixtiyoriy funksiya uchun Teylor formulasi. funksiya intervalda aniqlangan bo’lib , u nuqtada xosilalarga ega bo’lsin. Funksiyaning nuqtadagi xosilalaridan foydalanib , quyidagi

ko’pxadni tuzaylik.
Agar qaralayotgan funksiya darajali ko’pxad bo’lsa, unda yuqori (2-bandda) aytilganga ko’ra
,
Yani:

bo’ladi.
Agar ko’pxad bo’lmasa , ravshanki,

bo’lib ular orasida farq yuzaga keladi.Biz uni orqali belgilaylik:
. (6.39)
Natijada ushbu
,
yani
(6.40)
formulaga kelamiz.Bu (6.40) formula funksiya uchun Teylor formulasi deb ataladi. esa Teylor formulasining qoldiq xadi deyiladi.
Qoldiq xad ning (6.39) formula orqali ifodalanishini bilish ning ga yaqinlashishi haqida xulosa chiqarishga imko bermaydi. Agar ni va larning qiymatlari bo’yicha baxolay olsak va uning nolga intilishini ko’rsata olsak , u xolda funksiyani ko’pxad bilan almashtirish mumkin ekanligini asoslagan bo’lamiz.Demak masala ni baxolashdan iborat. Bu masalani xal qilish uchun funksiyaga “og’irroq” shart qo’yishga to’g’ri keladi.
funksiya intervalda aniqlangan bo’lib , u shu intervalda uzluksiz xosilalarga ega bo’lsin.Undan tashqari intervalda bu funksiyaning -tartibli xosilasi ham mavjud bo’lsin. intervalda argument ning ixtiyoriy qiymatini tayinlab, quyidagi
(6.41)
yordamchi funksiyani tuzamiz va uni ( yoki ) segmentda qaraymiz. funksiyaning (6.41) ifodasidan uning segmentda uzluksiz bo’lishini ko’rish qiyin emas . Bu funksiya intervalda xosilaga xam ega. Xaqiqatdan xam ,

Demak,
(6.42)
Endi segmentda uzluksiz va chekli xosilaga (nolga teng bo’lmagan) ega bo’lgan biror funksiyani olaylik. va funksiyalarga Koshi teoremasini qo’llab topamiz:
(6.43)
Bunda
.
Yuqoridagi (6.41) funksiya uchun
,
tengliklarga egamiz.Endi (6.42) tenglikdan da

bo’lishini e’tiborga olsak, unda (6.43) tenglikdan
(6.44)
formula kelib chiqadi.
Shunday qilib, Teylor formulasining qoldiq xadi uchun (6.44) formula topiladi. Bu xolda funksiyaning Teylor formulasi quyidagi


ko’rinishda yoziladi.
Teylor formulasidan kengroq foydalanish maqsadida , uning qoldiq xadining turli ko’rinishlarini keltiramiz.
Koshi ko’rinishidagi qoldiq xadli Teylor formulasi. Yuqorida qaralgan funksiya sifatida funksiyani olaylik.Ravshanki bu funksiya segmentda uzluksiz, intervalda esa chekli xosilaga ega. Bu funksiya uchun , bo’ladi.Natijada (6.44) formula quyidagi..