«iqtisodiy matematika» fanidan

Muavr-Laplasning integral teoremasi.
Har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli p (0<p<1) ga teng bo‘lgan n ta bog‘liq bo‘lmagan tajribada hodisaning kamida k₁ marta va ko‘pi bilan k₂ marta ro‘y berish ehtimoli (n yetarlicha katta bo‘lganda) taqriban ga teng. Bu yerda , . - funksiya Laplas funksiyasi deyiladi.
x ning musbat qiymatlari uchun Laplas funksiyasining qiymatlari 2-ilovadagi jadvalda keltirilgan. x>5 bo‘lsa, Ф(x)=0,5 deb olinadi. Ф(x) funksiya toq funksiyadir. Shuning uchun manfiy qiymatlarda buni hisobga olish kerak bo‘ladi.
2-misol. Fermer xo‘jaliklariga o‘rnatilgan elektr hisoblagichlarning buzilmasdan ishlash ehtimoli o‘zgarmas bo‘lib, p=0,8 ga teng. O‘rnatilgan 100 dona hisoblagichdan kamida 75 tasi va ko‘pi bilan 90 tasining buzilmasdan ishlash ehtimolini toping.
Yechish. Masala shartiga ko‘ra n=100; k₁=75; k₂=90; p=0,8; q=0,2 ga teng. n yetarlicha katta bo‘lgani uchun Laplasning integral teoremasidan foydalanamiz. larni hisoblaymiz:


Laplas funksiyasining toq ekanligidan quyidagini hosil qilamiz:
P₁₀₀(75;90)=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=Ф(2,5)+Ф(1,25). Jadvaldan Ф(2,5)=0,4938; Ф(1,25)=0,3944 ni topamiz. Laplasning integral teoremasiga ko‘ra biz qidirayotgan ehtimollik P₁₀₀(75;90)= 0,4938+0,3944=0,8882 ga teng bo‘ladi.
Eslatma. n≤20 da Bernulli formulasi, n>20, p0,02 da Puasson formulasi, n>20, 0,02< p<0,98 da Muavr - Laplas formulalari qo‘llaniladi.
Hodisa ro‘y berishining eng katta ehtimolli soni.
Aniqlangan p ehtimolda P_n(k) ehtimol k ning funksiyasi ekani ravshan. Agar ihtiyoriy k uchun ; bo‘lsa, u holda k₀ son hodisa ro‘y berishining eng katta ehtimolli soni deyiladi.
Eng katta ehtimolli son k₀ quyidagi qo‘sh tengsizlikdan aniqlanadi.

bu yerda:
a) agar np-q son kasr bo‘lsa, u holda bitta eng katta ehtimolli son mavjud;
b) agar np-q son butun bo‘lsa, ikkita eng katta ehtimolli sonlar va mavjud;
c) agar np butun son bo‘lsa, bo‘ladi.