И здан и е второе, стереотипное

§ ~ ^ L %
(Q,t 
k
= 1, 2 ....... 
т.
У к а з а н и е . Воспользоваться разложением в ряд Фурье.

---

Р А З Д Е Л И
ЭЛЕМ ЕН ТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Г Л А В А 3
О С Н О ВН Ы Е ПО НЯТИЯ
§
1
. П римеры на эк ст р е м у м ф у н к ц и о н ал а
1
. 
Зарождение вариационного исчисления отн осят обычно 
к 1 6 9 6 г., когда И. Бернулли поставил» так называемую 
з а ­
дачу о брахистохроне:
точки Л (0 , 0 ) и 
В (а, Ь)
располо­
жены в вертикальной плоскости 
(х, у )
(рис. 5). К акова долж на 
бы ть кривая, лежащ ая в плоскости (jc» 
у )
и соединяющая 
точки 
А
и 
В,
чтобы материальная 
точка, двигаясь без трения, ск аты ­
валась по этой кривой из точки 
А
в точку 
В
в кратчайшее время?
И скомая кривая 
и 
была 
названа 
брахистохроной
.
П усть уравнение кривой 
АВ
есть 
у = и(х).
Рассмотрим 
некоторый 
момент времени 
t,
и пусть в этот 
момент движущаяся точка находится 
на расстоянии 
у
от оси 
х.
Тогда 
v
= }/ 
2
gy
—
V 2gu,
где 
v
— с к о ­
рость движущейся 
точки, 
g
— ускорение 
В то ж е время
ds 
1/1 I 
г* d *  
v = T t = y I
+ «
ш.
Рис. 5.
силы
тяж ести.
dt
О тсю да
dt
Обозначим через 
Т
время, в течение к о т о р о го материальная

---

точка дости гн ет точки 
В.
Интегрируя, находим
О)
Задача свод и тся к следующ ему: надо найти функцию 
у = и(х),
удовлетворяю щ ую условиям
и сообщ аю щ ую интегралу (1 ) наименьшее значение. Условия (2 ) 
означаю т, что искомая кривая долж на проходить ч ер ез задан ­
ные точки 
А к В;
такого типа условия принято назы вать 
граничными,
или 
краевыми,
так как они отн осятся к кон ­
цам пром еж утка, на котором должна быть определена и ск о­
мая функция.
2 . 
Р ассм отри м ещ е одну задачу, сходную с задачей о бра­
х и сто хр о н е. П усть свет распространяется в оптически неодно­
родной ср ед е со скоростью
v(x, у, г).
Т р еб уется найти 
траектор ию свето в о го луча, соединяющего точки 
А
(х ц
у 1г z t)
и 
В(х& y t,
г а). П о известному принципу Ферма траектория 
с в е т о в о го луча обладает тем свойством, что, распространяясь 
по этой траектории, све т придет из точки 
А
в точк у 
В
в кратчайш ее время.
П усть уравнения искомой траектории суть
В соо тветстви и с принципом Ферма задача своди тся к оты ­
сканию д в у х функций 
иг (х)
и 
щ
(х ), удовлетворяю щ их крае­
вым условиям
п, 
(х 1) = у 1, 
Щ
( х 2) 
— Уч, 
щ
( х ,) =
zv
W i(*a) = 2 i 
(3 )
и сообщ аю щ их наименьшее значение интегралу
3 . 
Следую щ ая задача н есколько отлична от первы х двух. 
Мы сф ормулируем ее так: среди всех плоских кривы х, имею­
щ их данную длину 
I
и оканчивающихся в точках 
А(а,
0 ) и 
В{Ь,
0 ), найти кривую, ограничивающую вм есте с отрезком 
[а, 
Ь\
оси
х
область с наибольшей площадью.
и
(0 ) = 0; 
и(а) — Ь
У
=
Щ
(х ), 
z — щ
(х ).
(4 )

---

П у сть уравнение кривой будет 
у = и(х).
Задача заклю ­
чается в том, чтобы найти функцию 
и
(_*;), удовлетворяю щ ую
краевы м условиям
и (а)
 =
и (Ь) —
 0
(5 )
и то ж д еству
ь ______
$ 
/ 1
- f -
u'sd x
 =
I
 
(
6
)
а
и сообщ аю щ ую интегралу
ь
S — ^ u d x
 
(7 )
а
наибольш ее значение.
П о сравнению с первыми двумя задачами новым зд е сь 
является то, что искомая функция должна удовлетворять 
не то л ьк о краевым условиям (5 ), но и тож д еству (
6
), к отор ое, 
очевидно, не носит характера 
к р аевого условия. 
Общим 
во в се х трех задачах является то, что мы каждый раз ищем 
функцию (или, как в задаче (
2
), совокупн ость функций —
ее м ож но рассматривать как вектор-ф ункцию), уд овлетво р яю ­
щую тем или иным заранее поставленным условиям и сообщ аю ­
щую экстремальное (минимальное или максимальное) значение 
заданному функционалу. Т ак , 
в 
задаче о бр ахи сто хр он е 
искомая функция должна уд овлетво р ять краевым условиям (
2
) 
и сообщ ать минимальное значение функционалу (1 ). П риведен­
ные в настоящем napai рафе три задачи, так ж е как и многие 
другие задачи того ж е рода, отн осятся к ветви математи­
ческо го анализа, 
называемой 
вариационным исчислением.
Точная формулировка осн овн ы х задач вариационного исчисле­
ния будет дана в следующ ем параграфе.