Лекция 10 Доцент Мартынова Т. А. § Многочлены над полем действительных чисел Основными задачами

АЛГЕБРА (3-й семестр)

2010-11 учебный год

Доцент Мартынова Т.А.

МНОГОЧЛЕНЫ НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ

ЛЕКЦИЯ 10

Доцент Мартынова Т.А.

§ 2. Многочлены над полем действительных чисел

Основными задачами этого раздела являются рассмотрение вопросов:

• Сопряжённые корни многочленов.
• Неприводимые над R многочлены.
• Отделение действительных корней многочлена и метод Штурма.

1. Сопряжённые корни и неприводимые многочлены

• Напомним, что для комплексного числа сопряжённым будет число .
• Пользуясь свойствами сопряжённости,
• которые можно распространить на любое число слагаемых и сомножителей. Для любого многочлена
• с действительными коэффициентами имеем:

(1)

Теорема 1. Если комплексное число

• Теорема 1. Если комплексное число
• является корнем многочлена f(z)=anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0 с действительными коэффициентами, то и сопряженное к нему число
• также является корнем этого многочлена.
• ◘ Пусть z0 – корень f(z). Тогда
• f(z0)=anz0n+an-1z0n-1+…+a1z0+a0= 0

и, следовательно, . Но в силу (1)

т.е., z0 – корень многочлена f(z). ◙

1. Сопряжённые корни и неприводимые многочлены

Теорема 2. Неприводимыми над полем R являются лишь многочлены первой степени и многочлены второй степени с отрицательным дискриминантом.

• Теорема 2. Неприводимыми над полем R являются лишь многочлены первой степени и многочлены второй степени с отрицательным дискриминантом.
• ◘ Пусть p(x) - любой неприводимый многочлен из R[x], степень которого n>1. Достаточно доказать, что его степень равна 2.
• Пусть z0 - любой корень многочлена p(x). Этот корень не может быть действительным, так как в противном случае имели бы p(x)=(x-z0)q(x), где q(x) – многочлен положительной степени из R[x], т.е. p(x) был бы приводим над полем R.
• Итак, z0 – мнимый корень и тогда (по теореме 1) ž0 тоже является корнем многочлена p(x). Значит,