Лекция 10 Доцент Мартынова Т. А. § Многочлены над полем действительных чисел Основными задачами

1. Сопряжённые корни и неприводимые многочлены

Многочлен в квадратных скобках принадлежит R[x], так как числа z0+z0 и z0 z0 –действительные.

• Многочлен в квадратных скобках принадлежит R[x], так как числа z0+z0 и z0 z0 –действительные.
• А поскольку p(x)R[x], по теореме о делении с остатком частное q(x) тоже принадлежит R[x].
• В силу неприводимости p(x) многочлен q(x) обязан иметь нулевую степень и, следовательно, p(x) имеет вторую степень.
• Понятно, что в этом случае дискриминант многочлена p(x) отрицателен. ◙

1. Сопряжённые корни и неприводимые многочлены

Следствие 1. Любой многочлен f(x) R[x] положительной степени разлагается в произведение неприводимых над полем R многочленов 1-ой и 2-ой степени (или только первой, или только второй):

• Следствие 1. Любой многочлен f(x) R[x] положительной степени разлагается в произведение неприводимых над полем R многочленов 1-ой и 2-ой степени (или только первой, или только второй):

◙

1. Сопряжённые корни и неприводимые многочлены

Очевидно, каждому линейному множителю соответствует действительный корень f(x), а каждому множителю 2-ой степени – пара сопряженных мнимых корней.

• Очевидно, каждому линейному множителю соответствует действительный корень f(x), а каждому множителю 2-ой степени – пара сопряженных мнимых корней.
• Отсюда заключаем, что многочлен из R[x] может иметь только чётное число мнимых корней.

1. Сопряжённые корни и неприводимые многочлены

Следствие 2. Многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень.

• Следствие 2. Многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень.