Лекция 10 Доцент Мартынова Т. А. § Многочлены над полем действительных чисел Основными задачами

(3)

2. Отделение действительных корней

• ◘ Имеем:
• Отсюда при |z|>1 для любого kR+ получаем, что

(4)

2. Отделение действительных корней

• С другой стороны, имеем цепочку равносильностей:

(4)
(5)

2. Отделение действительных корней

• Таким образом, если неравенство (2) выполнено, то ввиду цепочки (5), имеем:
• Тогда в силу (4) получаем требуемое:

◙

(2)
(4)

2. Отделение действительных корней

• Покажем способ применения леммы для нахождения границ действительных корней многочлена f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0  R[x].
• По лемме имеем: если

тогда ,

где

• Следовательно, при таких x

2. Отделение действительных корней

• Отсюда следует, что все действительные корни f(x) находятся в промежутке (–M,M), где
• Таким образом мы указали один из способов (не самый точный) для нахождения границ действительных корней.
• Пример 3. Найти границы действительных корней многочлена f(x)=2x5 – 3x2 + 6.
• Имеем A = 6, |a5| = 2, M = 6/2 + 1 = 4.
• Таким образом, все действительные корни f(x) находятся в промежутке (–4; 4). ◙

?

2. Отделение действительных корней

• Существует много способов отделения действительных корней многочлена f(x) с действительными коэффициентами.
• Один из этих способов – графический – заключается в том, что используя аппарат математического анализа, исследуют функцию f(x) и приближенно рисуют её график. При этом возникает возможность указать приближенно и промежутки, в которых находятся корни. Разумеется, используя этот метод, мы не гарантированы от ошибок.