|
- Пример 4. Отделить действительные корни многочлена f(x)=x3 – 10x + 2.
- ◘ M = A / |an| + 1 = 10/1 + 1 = 11.
- Т.образом, корни находятся в промежутке (-11,11).
- Далее находим производную f’(x)=3x2 – 10.
- Затем применяя алгоритм Евклида, находим систему многочленов Штурма:
- Таким образом, ряд функций Штурма:
x3–10x+2, 3x2–10, 10x–3, 1. 2. Отделение действительных корней 2. Отделение действительных корней
x
|
f(x)
|
f’(x)
|
10x-3
|
1
|
w(x)
|
вывод
|
-11
|
–
|
+
|
–
|
+
|
3
|
На интервале
(-11,11) есть три
|
11
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
|
действительных корня
|
0
|
+
|
–
|
–
|
+
|
2
|
На интервале
(-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня
|
5
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
|
На интервале
(0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет
|
3
|
–
|
+
|
+
|
+
|
1
|
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть по одному корню
| 2. Отделение действительных корней
x
|
f(x)
|
f’(x)
|
10x-3
|
1
|
w(x)
|
вывод
|
-11
|
–
|
+
|
–
|
+
|
3
|
На интервале
(-11,11) есть три
|
11
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
|
действительных корня
|
0
|
+
|
–
|
–
|
+
|
2
|
На интервале
(-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня
|
5
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
|
На интервале
(0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет
|
3
|
–
|
+
|
+
|
+
|
1
|
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть по одному корню
| 2. Отделение действительных корней
x
|
f(x)
|
f’(x)
|
10x-3
|
1
|
w(x)
|
вывод
|
-11
|
–
|
+
|
–
|
+
|
3
|
На интервале
(-11,11) есть три
|
11
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
|
действительных корня
|
0
|
+
|
–
|
–
|
+
|
2
|
На интервале
(-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня
|
5
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
|
На интервале
(0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет
|
3
|
–
|
+
|
+
|
+
|
1
|
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть по одному корню
| 2. Отделение действительных корней
x
|
f(x)
|
f’(x)
|
10x-3
|
1
|
w(x)
|
вывод
|
-11
|
–
|
+
|
–
|
+
|
3
|
На интервале
(-11,11) есть три действительных корня
|
11
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
| |
0
|
+
|
–
|
–
|
+
|
2
|
На интервале
(-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня
|
5
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
|
На интервале
(0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет
|
3
|
–
|
+
|
+
|
+
|
1
|
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть по одному корню
| 2. Отделение действительных корней
x
|
f(x)
|
f’(x)
|
10x-3
|
1
|
w(x)
|
вывод
|
-11
|
–
|
+
|
–
|
+
|
3
|
На интервале
(-11,11) есть три действительных корня
|
11
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
| |
0
|
+
|
–
|
–
|
+
|
2
|
На интервале
(-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня
|
5
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
|
На интервале
(0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет
|
3
|
–
|
+
|
+
|
+
|
1
|
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть по одному корню
| 2. Отделение действительных корней
x
|
f(x)
|
f’(x)
|
10x-3
|
1
|
w(x)
|
вывод
|
-11
|
–
|
+
|
–
|
+
|
3
|
На интервале
(-11,11) есть три действительных корня
|
11
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
| |
0
|
+
|
–
|
–
|
+
|
2
|
На интервале
(-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня
|
5
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
|
На интервале
(0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет
|
3
|
–
|
+
|
+
|
+
|
1
|
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть по одному корню
| 2. Отделение действительных корней
x
|
f(x)
|
f’(x)
|
10x-3
|
1
|
w(x)
|
вывод
|
-11
|
–
|
+
|
–
|
+
|
3
|
На интервале
(-11,11) есть три действительных корня
|
11
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
| |
0
|
+
|
–
|
–
|
+
|
2
|
На интервале
(-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня
|
5
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
|
На интервале
(0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет
|
3
|
–
|
+
|
+
|
+
|
1
|
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть по одному корню
| 2. Отделение действительных корней
x
|
f(x)
|
f’(x)
|
10x-3
|
1
|
w(x)
|
вывод
|
-11
|
–
|
+
|
–
|
+
|
3
|
На интервале
(-11,11) есть три действительных корня
|
11
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
| |
0
|
+
|
–
|
–
|
+
|
2
|
На интервале
(-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня
|
5
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
|
На интервале
(0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет
|
3
|
–
|
+
|
+
|
+
|
1
|
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть по одному корню
| 2. Отделение действительных корней
x
|
f(x)
|
f’(x)
|
10x-3
|
1
|
w(x)
|
вывод
|
-11
|
–
|
+
|
–
|
+
|
3
|
На интервале
(-11,11) есть три действительных корня
|
11
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
| |
0
|
+
|
–
|
–
|
+
|
2
|
На интервале
(-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня
|
5
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
|
На интервале
(0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет
|
3
|
–
|
+
|
+
|
+
|
1
|
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть по одному корню
| 2. Отделение действительных корней
x
|
f(x)
|
f’(x)
|
10x-3
|
1
|
w(x)
|
вывод
|
-11
|
–
|
+
|
–
|
+
|
3
|
На интервале
(-11,11) есть три действительных корня
|
11
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
| |
0
|
+
|
–
|
–
|
+
|
2
|
На интервале
(-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня
|
5
|
+
|
+
|
+
|
+
|
0
|
На интервале
(0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет
|
3
|
–
|
+
|
+
|
+
|
1
|
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть по одному корню
| 2. Отделение действительных корней - Таким образом, корни находятся на промежутках (–11,0), (0,3), (3,5). Можно сузить эти промежутки, учитывая, что на концах промежутка, имеющего корни, f(x) принимает значения с противоположными знаками.
- 1. Сузим промежуток (-11, 0)
f(–5)= –125+50+2<0, f(0)>0 – корень принадлежит (–5,0);
f(–3)= –27+30+2>0 – корень принадлежит (–5,–3);
f(–4)=–64+40+2<0 – корень принадлежит (–4,–3). ◙ 2. Отделение действительных корней - 2. Сузим промежуток (0, 3).
- f(2) = 8 – 20 + 2 < 0,
- f(0)>0 – корень принадлежит (0, 2);
- f(1) = 1 – 10 + 2 < 0,
- f(0)>0 – корень принадлежит (0, 1);
- 3. Сузим промежуток (3, 5).
- f(4) = 64 – 40 +2 > 0,
- f(3) = 27 – 30 + 2 < 0 – корень принадлежит (3, 4).
- Ответ. f(x)=x3 – 10x + 2 имеет три действительных корня находящихся в промежутках (–4,–3), (0, 1) и
- (3, 4).
-
Do'stlaringiz bilan baham: |
