Лекция 10 Доцент Мартынова Т. А. § Многочлены над полем действительных чисел Основными задачами

◘ Мнимых корней – чётное число, значит действительных – нечётное, т.е. хотя бы один, так как всего корней – нечётное число.

◙

1. Сопряжённые корни и неприводимые многочлены

Пример 1. Многочлен f(x)=x5 + 6x - 9 приводим над полем R,

• Пример 1. Многочлен f(x)=x5 + 6x - 9 приводим над полем R,
• так как имеет по крайней мере один действительный корень.
• Пример 2. Многочлен f(x)=4x6+9x2+1 приводим над полем R,
• так как его степень больше двух. Но f(x) не имеет действительных корней, ведь f(x)>0 при любом xR.

1. Сопряжённые корни и неприводимые многочлены
Приводим?
Приводим?
Почему?
Почему?

2. Отделение действительных корней

Уравнения степени выше 4 неразрешимы в радикалах. Поэтому большую роль играют приближенные методы решения алгебраических уравнений. Обычно при этом выделяют 3 этапа:

• Нахождение границ действительных корней, т.е. указание такого промежутка (a,b), в котором находятся все действительные корни многочлена.
• Отделение корней, т.е. нахождение таких интервалов (ai,bi), в каждом из которых лежит только один действительный корень.
• Приближенное вычисление самих корней, т.е. построение последовательности, сходящейся к тому или иному корню.

2. Отделение действительных корней

• Лемма 1. (О модуле старшего члена). Если f(z)=anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0 – многочлен степени n  1 из кольца C[z] и A=max{|a0|,|a1|,…,|an-1|}, то при любом kR+ из неравенства

вытекает неравенство:

(2)