И здан и е второе, стереотипное

IQ =
 djT)! - j - Й2Т|2 “) " • • • “ Ь
а пЧп>
и, следовательно,
F (и)
—
F (Я
- J - а ^ ! —}—. . . —j— 
anvj
„).
Зд есь й ф иксировано, элементы 
г№ . . . ,
г|я такж е фикси­
рованы. Таким обр азом , 
F
есть функция 
переменных a t, 
а*, . . . , а а.
В си л у требования 2 эта функция достаточное 
число раз дифференцируема по 
av
а а, . . . ,
ап.
В ведем понятия о б абсолютном и относительном мини­
муме функционала. 
Функционал 
F
достигает на элементе 
п0 £ D (F ) абсолют ного минимума,
если неравенство
F (iie) ^ F ( u )
( 7 )
справедливо для лю бого элемента 
u £ D ( F ) .
Т о т ж е функ­
ционал д ости гает па элементе 
щ относительного мини­
мума,
если 
н ер авен ство (7 ) справедливо для элементов 
и
£
D(F),
д о статоч н о близких к н0.
§ 3 . В а р и а ц и я и г р а д и е н т ф у н к ц и он ала
1. 
Будем рассм атр и вать функционал 
F,
подчиненный требо­
ваниям 1, 2 § 2. В озьм ем произвольный элемент 
u ^ D ( F )
и произвольный элем ент т) 
М.
Обозначим через а произ­
вольное вещ ествен н о е число. Нетрудно видеть, что элемент
и
+
щ
(=
D (F).

---

Д ей стви тельн о, пусть 
и
—
а
- { - kj0, 
£
М.
Т о гд а 
и-|-ат1 = й + O to - f ой)).
0 )
К а ж д о е из слагаемых в ск обк е принадлежит линейному мно­
ж е с т в у
М,
поэтому и их сумма Ti0 -f-aif] принадлежит 
М.
Но 
т о гд а , очевидно, элемент 
и
- f -
ац
^
О (F).
С остави м выражение 
F ( ii
- }— a-rj). Элемент -tj0 — a-rj принад­
л еж и т двумерному подпространству, проходящ ему через эле­
менты т
(0
и т|. В силу требования 
2
F (
i i
-\-
oit
[)
есть непре­
р ы вн о дифференцируемая функция от а. Вычислим ее про­
и зводную и возьмем значение этой производной при я —
0
:
В результате мы получим число, к о то р о е можно рассма­
т р и вать как значение функционала (2 ), зави сящ его от д вух 
элем ен то в и и 
kj
.
О п р е д е л е н и е . Функционал
н азы вается 
вариацией
(или 
первой вариацией)
функционала 
Р
в 
т о ч к е
и
и обозначается символом 
bF(u, ц):
Б уд ем считать элемент и фиксированным. Т о гд а вариация 
bF
(
и
, 
tj) есть функционал от 
ц.
Л е г к о доказать, что вариация есть однородны й функ­
ционал первой степени по отнош ению к ij, т. е. если 
t
—
прои зво л ьн о е число, то
d F (и
-f- a-rj)
da 
a 
0
(
3
)
Д ей стви тельн о,
bF(u, tn) = tbF(u,
-rj).
bF
(н , 
tn)
=
~ F(u
+ «<4)|e = Q = П т -
F(u
-{- 
a t-ц)
—
F(U)
a
П о л агая зд есь fa = |3, имеем

---

В общ ем случае это т функционал не аддитивен, однако 
су щ еству ет достаточно много важных случаев, к огд а вариа­
ция является аддитивным функционалом от 
t j
. 
В связи с этим 
наложим на функционалы