И здан и е второе, стереотипное

^ О (лг) V (лг) 
d x .
 
( 2 1 )
а 
а
Формулы ( 2 0 ) и (2 1 ) в совокупности дают 
6
5
1
фи- —
О] т)' 
dx =
 0. 
(2 2 )
а
Т о ж д е ст в о (2 2 ) верно для любой функции ^(лг), непрерывно 
дифференцируемой на сегменте 
[а, Ъ\
и равной нулю на концах 
того сегмента. Имея это в виду, положим в т о ж д естве (2 2 )
? ! ( * ) = sin 
» 
к =
1» 2, . . .
Мы получим тогда 
ь
§ [Фв- — G] cos 
= 0, 
k = \ ,
2, . . .
( 2 3 )
а
Как хорош о известно, систем а функций
cos 
кк %— - , 
k
= 0, 1, 2, . . .
Ь — а %
полна в £ 2 (о, 
Ь).
Функция Ф„< — О ортогональна к о всем функ­
циям этой системы, за исключением функции, тож дествен н о 
равной единице. Но тогда функция Ф„- —
О
мож ет отличаться 
от единицы только постоянным множителем:
Фа,
— О — с — con st.
О тсю да
X

а
и, следовательно, функция Ф„> абсолю тн о непрерывна. Д алее,
^ Ф « ' = —
g ( x )( z
Ь),
и наше утверж дение д ок азан о .
П олученные здесь результаты
позволяю т 
сф ормулировать 
следую щ ую теорему.
Т е о р е м а 3.3.1. 
Пусть функционал
( 9 )
задан на непре­
рывно дифференцируемых функциях
, 
удовлетворяющих

---

краевым условиям
(1 0 ), 
и пусть область определения этого
функционала рассматривается как м ножест во в простран­
ст ве Ц (а, Ь). Тогда область определения градиента функ­
ционала
( 9 )
состоит из т ех и только т ех функций, кото­
рые обладают следующими свойствами
: 
они непрерывно
дифференцируемы на сегменте [а, b
] 
и удовлетворяют
условиям
(1 0 ); 
будучи подставлены в выражение 
(х, и, и'),
они обращают его в абсолютно непрерывную на сегменте
\а, Ь] функцию, производная которой на эт ом сегменте
суммируема с квадратом.