И здан и е второе, стереотипное

§ 2. Постановка задачи вариационного исчисления
Напомним 
определение функционала. 
П у сть 3)1 — мно­
ж е ст в о элементов произвольной природы, и пусть каж д ом у 
элем енту 
Щ
приведено в со о т ве тст ви е одно и то л ьк о одно 
число 
F(u).
В этом случае говорят, что на м н ож естве 
задан 
функционал F.
М н ож ество 301 назы вается 
област ью
определения
функционала 
F
и 
обозначается 
через 
D
(F ) ; 
число 
F(u)
называется 
значением
функционала 
F
на эл е ­
менте 
и.
Функционал 
F
н азы вается вещ ественны м, если в се

---

е го значения вещ ественны . Функционал 
F
н азы вается линей­
ным, если 
его 
область определения есть линейное м н ож ество 
и е с л и 1)
F
(Хн - f - (хк) = XF (и) -f - 
pF
(и).
Задача вариационного исчисления состоит в следую щ ем: 
дан функционал 
F
с областью определения 
D(F);
требуется 
найти элемент 
щ €zD (F),
сообщающий 
функционалу либо 
минимальное значение
F ( « o ) = inf 
F(u),
(1 )
agO lf)
либо максимальное 
значение
F (m 0) = sup 
F(u).
(2 )
tt£D{F)
Задача о максимуме функционала 
F
тож дественн а с зада­
чей о минимуме функционала —
F,
поэтому в дальнейшем 
будем рассматривать то л ьк о задачу о минимуме.
В р яд ли можно реш ать задачу вариационного исчисления 
в то л ьк о что приведенной общей ф ормулировке, поэтому 
мы постараемся наложить на функционал 
F
некоторы е огра­
ничения, по возм ож н ости просты е и естественны е.
Б удем считать, что 
D (F)
есть часть н екоторого банахова 
простр анства 
X.
Чтобы сформулировать дальнейш ие огра­
ничения, введем понятие линейного многообразия. П усть 
М
—
линейное м н ож ество элементов пространства 
X
и й — некото­
рый фиксированный элемент этого пространства. 
Линейным
многообразием
в 
пространстве 
X
назовем 
совокупн ость 
элем ентов, каждый из к о т о р ы х можно представить в виде
и
= й - j - к), 
т ) £ Л 1 .
(3 )
Е сл и й £
М
(например, если й = 0), то, очевидно, так опре­
делен н ое линейное многообразие совпадает с 
М.