И здан и е второе, стереотипное

Т р е б о в а н и е
1. 
Область определения D (F) функцио­
нала F ест ь линейное многообразие, плотное
в X * ) -
*) Мы считаем, что основные свойства линейных функционалов 
известны читателю из курса функционального анализа.
*) Можно было бы рассмотреть и более общий случай, когда 
D
(
F)
есть пересечение плотного линейного многообразия с некою* 
рым шаром или с иным открытым множеством,

---

Заметим, что линейное м н ож ество 
М
тогда тож е будет 
плотным в 
X.
Действительно, пусть 
и
— произвольный эле­
мент пространства 
X
и 
М
— плотное в нем многообразие 
элементов вида 
где 
ц
пробегает линейное м н ож ество 
.11
Элемент (и - j-
В)
^
X,
и можно найти такой элемент tj ^
М,
что | (и 
Д) — (a -f- т() I 
s. где 
s
— произвольное полож итель­
ное число. Но тогда |и —
произвольный элемент 
и £ х
можно сколь угодно точно аппроксимировать элементом мно­
ж ества 
М.
Э то и означает, что м н ож ество 
М
плотно в 
X.
Точно так же доказы вается и обр атн ое утверж дение: если т) —
произвольный элемент плотного в 
X
линейного м нож ества и 
й
— фиксированный элемент п ростр анства 
X
, то линейное 
многообразие элементов вида 
а
т) плотно в 
X.
П р и м е р . Рассмотрим задачу о световом луче. Для простоты 
допустим, что траектория лежит в плоскости (лг, 
у)
и что скорость 
v
не зависит от 
г.
Тогда уравнение траектории можно написать 
в виде 
у 
= и 
(х),
причем н (лг) удовлетворяет краевым условиям
u ( x i) = y l, 
и ( х 3) = у
1
,-
(4)
и задача заключается в том, чтобы найти функцию 
и
(лг), удо­
влетворяющую условиям (4) и минимизирующую функционал
• Г =
{
1
F \.^ “-Ax) dx.
(5)
'
V v(X,U(X))
■*1
Естественно допустить, что скорость света строго положительна:
v
(лг, 
у) 
v„
= c o n s t > 0 .
В качестве 
X
можно взять, например, пространство 
Lt
(лг,, лг,) 
функций, суммируемых с квадратом на промежутке 
(лг,, лг,). 
Функционал (5) естественно задать на множестве 
D
(
Т)
функций, 
непрерывных и непрерывно дифференцируемых на сегменте |лг„ jt2] 
и удовлетворяющих условиям (4). Докажем, что это множество 
является линейным многообразием.
Обозначим
й ( * ) =_У, +
(У* —
У»)
лг, — лг,
и положим 
и(х) 
— й
<лг) —|— ■») (л). Если 
и
£
D
(Г ), то т) (лг) есть непре­
рывная и непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяю­
щая краевым условиям
П
( * i ) = Ч ( * s ) = 0. 
(6)
Очевидно, 
множество 
М
функций ц (лг), удовлетворяющих 
только что перечисленным условиям, линейно. Это множество 
содержит как свою часть множество функций, финитных на сегменте 
1*1» •*,]■ По следствию 1.3,1 множество 
М
плотно в £ ,(2 ).

---

К а рассматриваемы е 
функционалы 
наложим ещ е одно 
очень важ ное ограничение. Будем считать, что 
простран­
ст во
X
бесконечномерно, — в противном случае вариационная 
задача оказалась бы просто задачей на минимум функции 
конечного числа независимых переменных. Т огд а плотное 
в 
X
линейное м н ож ество 
М
такж е бесконечномерно и, сл е ­
довательно, из него можно выделять конечномерные под­
пространства.
Т р е б о в а н и е 2. 
Если
т] 
пробегает любое конечно­
мерное подпространство, содержащееся в М, то на этом
подпространстве функционал F (it) — F(a-\-
т;) 
непрерывно
дифференцируем достаточное число раз.
Поясним наше требование. П усть 
-ц
пробегает какое-либо 
л-мерное подпростран ство 
М„.
Возьм ем в нем некоторый 
базис t)i, . . . , тт;,. Т о гд а, если т) 
Мт
то ■») необходимо имеет вид