И здан и е второе, стереотипное

§ 2. Простейшие свойства обобщенной производной
Т е о р е м а 2.2 .1 . 
Пусть в области
2
функция и(х)
имеет обобщенную производную v (x ) вида
(1 .2 ). 
Тогда
в области
2
\
2
Д 
средняя функ­
ция от этой производной равна
производной того ж е вида от
средней функции.
Напомним, что 2 ft означает 
пограничную полоску области 
2
ширины 
h.
М нож ество 2 (А) =
=
2
\
2
Д — откры тое, 
и, 
если 
х
£
2
\
2
Д, то расстояние о т точ­
ки 
х
до границы 
области 
2
больш е 
h
(рис. 4), поэтому усредняю щ ее ядро 
< " л ( г ) ^
£ 9 Л
1
оо)( 2 ) . По формуле (1 .1 )
=
(
-
( о
Усредняющее ядро <вЛ(г ) зави си т то л ьк о о т разности 
х
—
у,
поэтому
ft 
dhu> h (r)
dyi'dy
* 2 ... 
дулт 
dxkldx
k l . . .
dxkm
4 
* 
Ш
 
j 
» 
ГП
П одставив это в равенство (1 ), получим
&
dxk'dxk i... дхкт
 
1 
‘ 
т
что и требовалось доказать.
Т е о р е м а 2.2.2. 
Пусть
2 ' —
подобласть области
2 . 
Если v(x ) есть обобщенная производная от и (х)
~ д х к1д х к* ...д х кт
 
^
1 
* 
т
в области
2
, 
то v (x ) являет ся такой ж е обобщенной
производной от и(х) в области
2 '.
П усть ср ^ ЗЭТ1*) ( 2 ') . Д оопределим функцию <р (jc ) в 2 \ 2 ' ,
положив ее там равной нулю. Очевидно, тогд а ср £ 9 Л 1** ( 2 ) . 
К функциям 
и(х)
и f ( x ) применим формулу (1 .1 ). О тбр оси в

---

в обеих е е частях интегралы по 2 \ 2 ' , равные нулю, получим 
формулу
^ и — г— ^-2------ - —
dx = (—\ f
? 
v
J
dxkidxk‘ ... dxm
J
2 
l 
li 
m
2
которая и означает, что 
есть обобщенная производная
вида (2 ) о т
и(х)
в подобласти 
2
'.
Т е о р е м а 2.2.3. 
Если в области
£2 
функция
*>(•*) 
есть
обобщенная производная от и
(
jc
)
вида
( 2 ) ,
a w (x ) есть
обобщенная производная от v
(лг) 
вида
.
. 
dlv
W \ X )
dx{ldxi3 ... д х lm'
то w (x ) в той ж е области
2
есть обобщенная произ­
водная от
и(лг) 
вида
dk + lu
W
( X ) --
д х *1 + lldxka + h .
.
. dxkm
+- 
lm
' 
1 
* 
m
dl
‘ 1
П у сть £ SW <*+0(Q > Т огд а 
, ? ■
(
2
)
,
д х ^ дх а*...дх т
и по ф ормуле (1 .1 )
■ dx
=
J И 
дх?1
+
‘ ‘дх?*
+ ,а . . .
дх km
+
1т '
Я
 
* 
» 
т
= (
—
1 )* 
[ 
V
. 
f * л Г dx.
(3 ) 
£ дх\'дх^
... 
дхт
П о той ж е формуле (1 .1 )
2 
«
«
m
 
S
П о дстави в это т результат в равенство (3), получим формулу
t
и
—
-г-щ
— т
~-
тгг
-------- г т ' Г
dx — (—l)k+t
^ 
wydx,
J
dx?l + l,dxZi + t * . ..d x km + ‘m
 
С 
I 
« 
m
 
2
и з к оторой и вы текает теорем а 2.2.3.
Т е о р е м а 2.2.4. 
Функция, обобщенный градиент кот о
- 
рой существует и т ождест венно равен нулю, есть по­
стоянная.

---

П усть функция 
и
(х ) суммируема в 2 и пусть сущ ествую т 
и тож дественно равны нулю в 
2
обобщ енные производные
А = 1, 2
т.
Построим среднюю функцию 
uh(x).
По теореме 2.2.1 J ^ - = 0 и, следовательно, ил = co n st в под­
области 2 \ 2 Л. П роизвольно зафиксируем число 8 ^ > 0 . Если 
h
< ^
8
, то нЛ = con st в 2 \ 2 8. П о теорем е 1.3.3 u = co n st 
в 2 \ 2 5. Так как число 
8
произвольно, то 
и =
co n st в 2 .
§ 3. П р ед ел ьн ы е с в о й с т в а о б о б щ е н н ы х п р о и з в о д н ы х
В настоящем параграфе мы будем предполагать, что как 
данные функции, так и те их 
обобщ енны е производные,
о которы х будет идти речь, суммируемы с квадратом в о б ­
ласти 
2
, которая по-прежнему считается конечной.
Т е о р е м а 2.3 .1 . 
Пусть функции ип(х),
и = 1 , 2 ..........
имеют в
2
обобщенные производные одного и того ж е вида
:
v
— _______
dkun
_______
пУ > 
dx?'dx?‘ ...d x hm ’
1 
» 
т
Если обе последовательности
{« „ } и {ti„} 
сходят ся в
метрике Lt (
2
) 
к пределам а (х ) и v (x ) соответственно,
то в области
2
функция v (х) есть обобщенная производ­
ная от и(х) того ж е вида.
П о определению обобщенной производной
) “ ■
'
t £ W 4 V ) -
( i )
* 
1 
* 
т
2
Каждый из интегралов в тож д естве (
1
) есть скалярн ое про­
изведение двух функций из Z.a (2 ) , а под знаком скалярн ого 
произведения можно делать предельный переход. Выполнив 
его, придем к формуле (
1
.
1
), и теорема доказана.
Т е о р е м а 2.3.2. 
Пусть v
(л:) —
обобщенная производная
от и (х) в области
Q:
/ \ 
дки
v(x)
дх ? 1д х р ...д х * т
1 
* 
т
В любой внутренней подобласти
2 ' d 2
м ож н о построить
2-1567

---

последовательность бесконечно дифференцируемых функ­
ций {ип
( jr )} 
таких, что в метрике пространства
Z.9( 2 ' )
ип
— и, 
— г—
— ------- v. 
(2)
д х 'д х
*‘ ... 
дх т
* 
11 
т
Д о к а за т ел ь ст в о очень просто. М ож но взять 
и „ (^ ) = « Лл(дг),
гд е 
hn
— стремящ аяся к нулю последовательность полож итель­
ных чисел. Т огд а первое соотнош ение (2 ) вы текает из т е о ­
ремы 1.3.3, втор ое соотнош ение — из георем 1.3.3 и 2 .2 .2 .
§ 4. С л у ч а й од н ой н еза в и си м о й переменной
В этом случае класс функций, имеющих обобщенную пер­
вую производную , оказы вается тесн о связанным с классом
абсолю тн о непрерывных функций. Напомним, что функция 
н
(_хг) вещ ественной переменной 
х
абсолютно непрерывна на 
сегм ен те 
[a, b
], если су щ ествует такая суммируемая на этом 
сегм ен те функция 
v(x),
что
X
u (x) = ^v
(О Л - f c o n s t
x £ [ a , £].
а
И з и звестн ы х теорем Л ебега вы текает, что функция м(лг) 
имеет на сегменте 
[а, Ь\
почти всю ду обычную производную, 
равную
v(x).
Т е о р е м а 2.4 .1 . 
Пусть функция и(х), определенная
почти всюду в интервале (а, Ь) и суммируемая с квад­
рат ом на этом интервале, имеет в (а, Ь) обобщенную
производную v(x), т ак ж е суммируемую с квадратом.
Тогда и
(лг) 
эквивалентна функции, которая абсолютно
непрерывна на сегменте [а, Ъ
] 
и почти всюду в
(а , 
Ь) имеет
обычную производную, равную v (х).
П у ст ь сегм ент [а, (3J леж ит в интервале (а, 
Ь).
П о теорем е 
2 .3 .2 су щ е ст ву е т п ослед овательн оегь 
и„
(jc) ^ С (00) 1«, £}] таких, 
что в м етр и ке 
Lt (a,
(3)
и„ — м, 
u'n -+v.
П с ф ормуле Н ью тон а— Лейбница
X
«Л ( * ) —
и„
(а) =
I и'п (t) dt,

---

отк у д а
X
ип (а) — и„ (х)
— 5 
и'п
( 0
dt.
(1 )
а
П равая часть равенства ( I ) сходится в метрике £ а (а, р) к пре­
д ел у , равному
х
и(х)
— ^ 
ъ (t) dt.
а
В таком случае сходится в той же метрике и левая часть. 
Н о для функций, каждая из которы х постоянна, сходи м ость 
в среднем есть обычная сходим ость числовой п о сл ед о вател ь­
ности. П оэтому сущ ествует предел — обозначим его через 
с
—
последовательности {мя (»)}:
lim 
ип
(а) =
с.
п -+
ОО
П олагая теперь в равен стве ( 1 ) « —* с о , находим
X
и (x) = \v(t)dt + c.
(2 )
а
Р авен ство (2 ) имеет место почти всю ду на сегм ен те [а, р]. 
О днако правая часть этого равенства определена и непрерывна 
всю ду на этом сегменте. Примем теперь, что р авен ство (2 ) 
ьерпо па сегменте [а, (5] всюду; это равносильно том у, что 
данную функцию н(лг) мы заменили некоторой другой, ей 
эквивалентной. Теперь функция 
и (л
г) абсолю тн о непрерывна 
на сегм ен те [а, р]; очевидно такж е, что 
с = а(я).
В формуле (2 ) 
х
м ож ет означать любую точку интервала 
(а, 
Ь),
так как а и р можно взять ск о л ь угод н о близкими 
к 
а
и 
b
соответствен н о Зафиксируем а и положим в ф ор­
муле ( 2 )
х
—
>Ь.
Функция 
v(t)
суммируема на всем интерва­
ле 
(а, Ь),
поэтому правая часть этой формулы имеет предел, 
равный
ь