И здан и е второе, стереотипное

lim a>A( r ) = lim ш — Ж ее  Л8- '- 8 = 0,
г - * Л — О 
r - > h -
0
V
1
~
г )
к отор о е л егко проверяется по том у ж е правилу Л опиталя.
Таким образом, первая производная 
ша
(
г
) су щ еству ет 
и непрерывна при любом г. Точно так ж е д ок азы вается су ­
щ ествование и непрерывность следую щ их производны х. С вой ­
ство 4 установлено.
§ 2. С р ед н и е функции
П у сть 2 — конечная область п ростр анства 
Ет я и (у) —
функция, суммируемая в 2 . Д оопределим эту функцию вн е 2 ,
положив ее там равной нулю. П у сть 
х
— произвольная точка 
пространства 
Ет.
Положим
« h ( x ) = \mk ( r ) u ( y ) d y ,  
( 1 )
е
где <ол ( г ) — какое-нибудь усредняю щ ее 
ядро, обладаю щ ее 
свойствами 1— 4 § 1. Функция 
ил
н азы вается 
средней функ­
цией
по отнош ению к 
и;
число 
h называется радиусом усред­
нения.
Среднюю функцию можно представить ещ е в д ву х
формах:
1
) приняв во внимание, что 
и {у)
=
0
, 
у
^
2
, м ож но инте­
грал (
1
) распространить на все простр анство, и тогд а
«
а
С*) =
I
“
а
(О
и
(
у
) 
dy;
(1
а)
Ет
2
) в силу свойства 
2
усредняю щ его ядра м ож н о интегри­
ровать не по всему пространству, а то л ьк о по ш ару ради уса 
h
с центром в точке 
х:
« * ( * ) = $ “ * (0 « С У )« ? У - 
( 1б)
r<.h

---

Отметим простейш ие свойства средних функций:
1. 
Средняя функция бесконечно дифференцируема во всем 
пространстве; ее производны е любого порядка м ож но полу­
чить дифференцированием под знаком интеграла в любой из 
ф ормул (1 ), (1а), (1 6 ).
В силу свой ства 4 усредняющ его ядра средняя функция 
бескон ечн о дифференцируема и интеграл ( 1 ) м ож н о диффе­
ренцировать под знаком интеграла, поэтому производные от 
средних функций м ож но вычислить по любой из следующ их 
формул:
С овокуп н ость функций, бесконечно дифференцируемых на 
каком -нибудь м н ож естве 
М,
будем обозначать через С (со) (Ж ). 
В эти х обозначениях сво й ство 1 коротко записы вается так: 
«л С С (оо> (^ т )- В оо б щ е, через C (ft) 
(М)
мы будем обозначать 
со вок у п н ость функций, 
k
раз непрерывно дифференцируемых 
на м н ож естве 
М.
С овок у п н ость функций, непрерывных на 
М,
будем обозначать через 
С(М);
2. 
Средняя функция равна нулю во всех точках, р асстоя­
ние к о то р ы х до о б л а с т и 1) 2 не меньше 
h.
Действительно, 
в этом случае шар 
г 
h
целиком лежит вне 2 , и под зна­
ком интеграла (1 6 ) н (.у ) = 0.
Таким образом , средняя функция может бы ть отлична от 
тож д ествен н о го нуля лиш ь в области, которую мы обозн а­
чим 2^ Л) и к отор ую м ож н о построить так: из каждой точки
*) Расстояние р (
х
, Q) от точки 
х
до S определяется формулой
dxfl dx*‘ ...d x fr
дх*‘ дх*‘ ...дх%*
& ик
дЧк
r < h
9
( * . а ) =
I 
х —
Я .
v£2
Очевидно, 
t (х,
2 ) = 0 , если 
x£Q.

---

х
^ 2 как из центра опишем шар радиуса Л; объединение 
этих ш аров и есть 2<А>. Ясно, что 2 (' 0 2 ; если, например, 
2 есть шар радиуса 
R,
то 2 (ft) е сгь концентрический с 2
шар радиуса 
R-\-h.