|
§ 3. С х о д и м о с т ь ср е д н и х функций
Т е о р е м а 1.3.1.
Если и
£ С ( 2 ) ,
то средняя функция
uh M hZ-Qu(x)
равномерно во всякой замкнутой внутренней подобласти
’ )
области
2
.
П усть 2 ' — внутренняя подобласть области 2 . П остроим
область
2
", которая является внутренней подобластью для
2
и для которой
2
' является внутренней подобластью (рис.
3
).
Границы областей 2 ' и 2 " обозначим ч ер ез Г и Г ' с о
ответственно, и пусть й
0
— наименьшее расстояни е между
точками границ Г* и Г " . Возьмем
й < ^ Л 0. По формуле (2 .1 6 ) и по
сво й ству 3 усредняющ его ядра
(§
1
) имеем
“
a
W
- « ( * ) =
=
I
[ " О ) —
и
( * ) ] ШЛ (г )
dy.
(
1
)
r < h
Если
х
2 ', то в интеграле (1 )
У
G
&"•
® замкнутой области 2 "
Рис. 3.
непрерывная функция
и
равно
мерно непрерывна, поэтому при достаточн о малом
h
и г ^
h
будет |
и
(_у) —
и
(дг) |
е, где е — произвольно малое п олож и
тельное число. Имея в виду, что о>А( г ) : & 0 (св о й ст в о 2), из
формулы (
1
) получаем
1
« л С *) — и
( * ) | < 8
\
шл
(r)d y = е.
~
г<Н
1
еорема доказана.
Т е о р е м а 1.3.2.
Норма в Lt (
2 )
не возрастает при
усреднении.
*) Подобластью области Q называется всякая область
Q' cz Q.
Подобласть 2 ' называется внутренней, если ее замыкание Й'СЗЙ,
т. е. если Q' вместе со своей границей лежит внутри Q.
П у сть н £ £ 4 ( 2 ) . Докажем, ч ю в метрике 1 * ( 2 )
I K I M I 4
(
2
)
Оценим квад р ат средней функции по неравенству Буняков-
ского:
«л ( * ) =
u ( J ') о>А (
г
)
dy^
= j$ и
[ у ) У
шл ( г )
V
“ а ( г ) flfyj® <
« S
\
на (У ) шл ( г )
dy
$ сол (г ) dy s S
\ иг (у)
( г )
dy,
( 3 )
2
2
2
так как по сво й ству 2 усредняющ его ядра
$u>A( r ) s ? y =
$
шл ( г) 4 У < $ и)л ( г ) < * > '= 1 -
2
ап (г< Л )
г< л
И нтегрируя неравенство (3 ) по области 2 , получим
I «л ip=
S
«л о )
dx
^
\
о о [ $ шл ( о ^
2
2
|_2
d y ^
s
что и т р еб о вал о сь доказать.
Т е о р е м а 1.3.3.
Если
и £ 1 а ( 2 ) , /яо
II « — и* It. (в) — о 0 -
И звестн о ’), что для любого е
О можно построить поли
ном
f
так, чтобы
II и — /||la(S) <
3
.
Применим н ер авенство треугольника
и и - « j < 1 «I -
/ Ж 1 / -
/Л и m
- « АI
П о тео р ем е 2
11/Л - « А1 < 1 1 / - « 1 1 -
п оэтом у
1 1 « - «
л
| | ^ 2 | | / - М1 + | | / - / л | | < | + | | / - / а ||.
*) См., например, В. И. С м и р н о в , Курс высшей математики,
т. IV , изд. 2-е, 1959, стр. 185.
Вы берем область
2
ц для которой 2 будет ст р о го вн у
тренней подобластью. Полином
f
непрерывен в 2 1( и поэтом у
равномерно в любой внутренней замкнутой подобласти £
3
,,
в частности в Q. Но из равномерной сходимости в зам кн у
той области следует сходимость в среднем, и для д остаточн о
малых
h
О тсю да уж е легко вы текает наш е утверждение.
О п р е д е л е н и е . Функция
9
назы вается
финитной
в 2 ,
если она в
2
бесконечно дифференцируема и отлична от
нуля лишь в некоторой внутренней подобласти обл асти
2
.
Финитную функцию можно определить н еск о льк о иначе.
П усть Г — граница области 2 .
Пограничной полоской
о б л а
сти
2
называется совокупн ость точек этой области, о б л а
дающ их тем свойством, что их расстояния до Г не п р ево с
ходят заданной постоянной
8
, называемой
шириной полоски.
Функция называется финитной в 2 , если она в 2 бескон ечн о
дифференцируема и обращ ается в нуль в некоторой погр а
ничной полоске области
2
.
Пограничную полоску области 2 , имеющую ширину
8
,
будем обозн ачать через
2
{.
Т е о р е м а 1.3.4.
М ножество функций, финитных в
области
2 ,
плотно в пространстве
Z.s ( 2 ) .
Н адо доказать, что любую функцию
m
£ Z .
s
( 2 ) м ож н о
с любой
степенью точности аппроксимировать в метрике
Z.a ( 2 ) финитной функцией.
Ч исло
8
выберем так, чтобы мера полоски 2 S бы ла д о
статочно мала, а именно: зададим е ^ >
0
и вы берем
8
так,
чтобы
1
/ ~ Л Its (в) <
3
- е-
Рассмотрим функцию, определяемую равенством
Очевидно, т > £ / .а ( 2 ); при этом
и, следовательно,
(4 )
В озьм ем / « < -
5
- и построим среднюю функцию г>й (лг).
О на финитна в 2 , так как она бесконечно дифференцируема
и равна нулю в пограничной полоске
2
{ _ft (св о й ства
1
,
2
средней функции, § 2). П о теореме L 3 .3 можно вы бр ать число
Л
0
так, чтобы при Л < [
h0
было
И з неравенства треугольника и соотнош ений (4 ) и (5 )
вы текает, что
Т еор ем а доказана.
С л е д с т в и е 1.3.1.
Если М
С
L 4
( s ) ~
множест во, со
держащ ее м нож ест во всех финитных в
2
функций, то
М плотно в
Z.
9
( 2 ) .
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что усреднение не увеличивает норму в простран
ствах
L
b
(2),
1
*S/>sgco.
2. Доказать, что если
u£Lp (Q),
1 < р < о о , то
3.
Можно рассматривать усредняющие ядра, обладающие свой
ствами 1, 2, 3, но не обладающие свойством 4. Простейший при
мер такого ядра:
где
сь
— подходящим образом выбранная постоянная. Требуется
вычислить постоянную сА и доказать, что
а)
если
u£L(Q),
то
« А£ С ( 2 ) ;
если
u £ C '* ’ (S ),
то
« л 6 С « * + " ( 2 \ й Л);
б) верны теоремы 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, а также утверждения упра
жнений 1 и
2,
II®
— ® а 1 < у -
(б)
II и —
Vh
II
« £
II
и —
v
II
+
11
V
—
vh
II
<
е,
h
< А0.
Г Л А В А 2
О Б О Б Щ Е Н Н Ы Е П РО И ЗВ О Д Н Ы Е
Do'stlaringiz bilan baham: |
