|
дх* ‘ dys
'
dz*
обычно называют
оператором Лапласа
от функции и и обо
значают символом Д:
.
дги
,
д*и , д ги
и ~ д х а 'д у *'~ д г> ’
уравнение (4 ) можно, следовательно, переписать в виде
* « = * £ •
m
Уравнение
(4)
(или
(4'))
называется
уравнением тепло
проводности.
Э то — линейное уравнение в частных производ
ных вто р ого порядка. О но было известно ещ е Эйлеру, но
чаще его связы ваю т с именем Фурье.
3.
Рассм отрим температурный процесс, установивш ийся
во времени. Т о гд а
и
е сть функция пространственны х коор
динат и не зависит о т времени:
и — и (х, у, z).
Уравнение
(4)
переходи т в следующ ее:
д*и
.
дги , д*и
п
+
+
( )
или
А ?г = 0.
(5 ')
Уравнение (5 ) (или (5 ')) называется
.уравнением Лапласа
;
оно представляет собой линейное уравнение в частны х про
изводны х вто р ого порядка.
В приведенных вы ш е примерах мы каждый раз приходили
к линейному уравнению в частных производных вт о р о го по
рядка. О днако такими уравнениями приложения математичес
кой физики не исчерпываю тся.
П редставляю т интерес для физических приложений многие
линейные уравнения б ол ее вы соких порядков. Задачи геомет
рии и физики н ер едко приводят к нелинейным уравнениям в
частных производны х, а гакж е к системам дифференциальных
уравнений. Так, хор ош о известны системы дифференциальных
уравнений теории у п р у го е i и, гидродинамики, электродинамики.
Приведенные выше уравнения — волновое, теплопроводно
сти и Л апласа — соответствую т различным физическим зад а
чам, но они различны и в плане чисто математическом. Они
являются представителями трех важнейш их типов уравнений
в частных производных:
гиперболического, параболического,
эллиптического.
Изучение эти х типов составляет предмет
математической физики, котором у посвящ ена настоящая книга.
Н ужно подчеркнуть, что этими тремя типами не исчерпы вает
ся многообразие уравнений в частны х производны х; мы вы д е
ляем их по принципу максимальной изученности и наибольшей
важ ности для приложений.
Н еск ол ьк о слов скажем о принятых в книге обозначениях
и систем е нумерации.
Е вкл и дово пространство
т
измерений обозначается сим
волом
Ет.
Если точка этого простр ан ства обозначена, напри
мер, буквой
х,
то декартовы координаты этой точки обозн а
чаются через
хх, х» . . . , х т.
Нам неоднократно придется вы полнять интегрирование по
множествам различной размерности, расположенным в про
стран стве
Е
т ; чаще всего нам придется интегрировать по
области или по (
т
— 1)-мерной поверхн ости . Т ак ое интегриро
вание мы всегда будем обозначать одним знаком интеграла
независимо от его кратности. Е сли переменная точка интегри
рования обозначена, например, буквой
х,
то элемент л е б е го
вой меры («элем ент объем а») в простр анстве
Ет
будем о б о
значать через
dx.
Элемент меры на поверхности («эл ем ен т
площади поверхности») обозначим ч е р ез
dS, dr, . . . ,
если
сама п овер хн ость была обозначена через
S,
Г , . . . . Е сл и
М
— м н ож ество точек пространства
Ет,
то замыкание эт о го
множ ества будем обозначать через
М.
В частности, если
Q — некоторая область в простр анстве
Ет,
а Г — ее граница,
то
Q = Q
( j r .
Н иже мы будем широко п ол ьзоваться следующ ей си м во
ликой: если область обозначена буквой Q, то объем этой
области будет обозначен через 12 1. Аналогично | Г | будет
обозначать площадь поверхности Г .
Сфера радиуса
R
в простр анстве
Ет
будет обозн ачаться
через
SR.
Площ адь ее поверхности
\SR\ = Rm- '
5 ,1 .
где 6 1! — сфера радиуса единица.
Х ор о ш о известна формула
\Si
2кт/3
Г
( ? ) '
где Г — эйлеров интеграл второго рода.
В книге принята сквозн ая нумерация глав, но нумерация
параграф ов — своя в каждой главе. При ссы лке на формулу
т о го ж е параграфа указы вается только ее номер; при ссы лке
на формулу д р у го го параграфа, но той ж е главы , сперва
стави тся в ск о б к ах номер параграфа, затем — номер формулы.
Е сли нужно со сл аться на формулу из другой главы, то в
ск о б к ах пишутся номер параграфа и номер формулы, а вне
ск о б о к — номер главы .
В конце книги приводится краткий список литературы к
к аж дом у разделу и добавлению. В нем содержится перечень
осн овн ы х учебников и монографий (р еж е — журнальных с т а
тей), относящ ихся к данному разделу. В тексте иногда в ст р е
чаются ссы лки на э т у литературу. В таком случае в квадрат
ных ск о б к ах стави тся номер цитируемого издания по списку
данного раздела.
СРЕДНИЕ ФУНКЦИИ И О БО БЩ ЕН Н Ы Е
ПРОИЗВОДНЫЕ
Г Л A B A 1
С Р Е Д Н И Е ФУНКЦИИ
Do'stlaringiz bilan baham: |
