И здан и е второе, стереотипное

§ 1. П о н я ти е обобщ ен ной п р о и зв о д н о й
П редварительно выведем одну важ ную формулу интеграль­
ного исчисления, известную под названием 
формулы интег­
рирования по частям.
П усть 2 — конечная область от-мерного евклидова про­
странства, ограниченная кусочно гладкой поверхностью Г . 
Напомним формулу О строградского:
\ т к й х = \ р  cos
а 
г
здесь v — нормаль к поверхности Г , внешняя по отношению 
к 2 . О т функции 
Р (х )
достаточно п отребовать, чтобы она 
принадлежала классу С (1) (2 ) .
Рассмотрим интеграл
где 
Р, Q
£ С (1) ( 2 ) . Заменяя первый интеграл справа по фор­
муле О строградского, мы и получим ф ормулу интегрирования 
по частям:
S
р
cos(v' 
x*)dT-
2
q
Г
Отметим некоторы е следствия из этой формулы. Если 
одна из функций 
Р
и 
Q
обращ ается на Г в нуль, то п овер х-

---

ностный интеграл исчезает и получается более простая фор­
мула:
& 
в
Рассмотрим интеграл несколько более слож н ого вида:
Е сли функция 
Р
имеет нужные непрерывные производные, 
т о это т интеграл можно взять по частям 
k
раз так, 
чтобы 
под знаком о б ъ ем н ого интеграла освобод и ть функцию 
Q
о т 
дифференцирования:
ч ер ез 
R (P, Q
) обозначено выражение, зависящ ее от функций 
Р, Q
и их производны х до порядка 
k
— 1 включительно.
В ведем в рассмотрение множ ество 
( 2 ) функций,
непрерывных, 
k
раз непрерывно дифференцируемых в 2
и равны х нулю в пограничной полоске (своей для каждой 
функции) области
2 .
Очевидно, 
З Я (*+1> ( 2 ) С 2 Г С (Л) ( 2 ) и 
( 2 ) ( 3
( 2 ) при любом 
k.
П у ст ь функции 
m
(
jc
) 
и
d
(
jc
) суммируемы в 2 и пусть 
для лю бой функции ер £
Ш {к)
( 2 ) справедливо тож дество
Т о гд а
v
н азы вается 
обобщенной производной k-ro
порядка 
о т функции 
и
в области 2 . Для обозначения обобщенной 
производной и сп ользую т обычный символ и пишут

---

Т е о р е м а 2.1.1. 
Обобщенная производная вида
( 2 )
един
ственна.
Н ад о доказать следующ ее: если функция и(лг) суммируема 
в 2 и если сущ ествуют две функции 
( х ) и 
v3
(лг), так ж е
суммируемые в 2 и удовлетворяю щ ие при любой <р ^
( 2 )
тож д ествам
^ и , 
ь
f ^------
z
—
d x =
( — 1 
)k
? 
vtfdx,
J
дхЬ'дх** ...д к кт
 
v 
J
e 
' 
4 
m
 
s
(3>
в 
1 
* 
m 
8
то г»| (д;) =
(лг). Как обычно, мы считаем, что д ве функции 
равны между собой, если они эквивалентны (м огут разли ­
чаться лишь на множестве меры нуль).
Вычитая из первого то ж д е ст ва ( 3 ) второе и 
полагая 
® i(-v) —
Щ (х)
=
w (х),
получаем то ж д ество
^ 
(jc) ср (л:) 
d x —
0, 
(4 )
а
верное, если <у £ 9Dlvft)(2 ) . Д о каж ем , что тож д ество ( 4 ) верн о 
для любой ограниченной измеримой функции 
<р(х),
равной 
нулю в некоторой пограничной полоске. П усть 
<р(х)
— такая 
функция и пусть она равна нулю в полоске ширины 8.
В озьм ем
и построим средню ю функцию <рл(лг). Она
бесконечно дифференцируема и равна нулю в пограничной 
п олоске ширины 8 —
h.
П оэтом у <рА £ 2 ){(со) ( 2 ) и, тем более, 
?а G 2И 1*'(52)- Для функции 

то ж д ество верно:
$ 
w
С*) Тл ОО 
d x —
0. 
( 5 )
Я
Н етрудно видеть, что при любом 
h
функции tpA( jf ) о гр а ­
ничены одной и той ж е постоянной: если | <р ( jt ) | 
N —
c o n s t, 
то
I ТаС-^) I = | $ 
<Р
(У)<»Л 
(г) dy
I <
N
$ 
u>h(r)dy — N.
I 
r < .h
| 
r < . b

---

Ограниченная и измеримая в 2 функция <р во всяком слу­
чае суммируема в 2 с квадратом. По теореме 1 .2 .3
П о известной теорем е о последовательностях функций, сх о ­
дящ ихся в ср ед н ем '), можно выбрать такую п ослед овател ь­
н ость чисел 
hn
—
0
, что
почти всю ду в 
2
.
В тож д естве ( 5 ) положим 
h = hn.
П о д знаком интеграла ( 5 ) подынтегральная функция не 
превосходи т суммируемой функции N|«>(jc)| и при 
п
— оо 
почти всю ду стрем ится к функции 
w
(дг) 
<р (х).
П о известной 
тео р ем е о предельном п ереходе под знаком интеграла Лебега 
получаем
что и тр ебовал ось д о к а за ть . Теперь положим в тож д естве (4 )
и, сл едовател ьн о, 
w
( х ) = 0, 
х
£ 2 '. Так как число 8 ^ > 0
произвольно, то «>(.*;) = О в 2 . Теорема доказана.
Е сли функция и ( х ) непрерывна в 2 вм есте со своими про­
изводными до £ -г о порядка включительно, то е е обобщ ен­
ны е производны е А-го 
порядка сущ ествую т и совпадают 
с обычными. Д ей стви тел ьн о, интеграл в левой части фор­
мулы (
1
) можно взя ть по частям 
k
раз; при этом поверх­
ностн ы е интегралы исчезнут, потому что на границе обла­
сти 
2
как функция <р, так и ее производные д о
(k
—
1
)-го 
порядка вклю нительно равны нулю. В р езультате получится
5
w
(дг) <р (дг) 
dx —
О,
О
О, 
дг ^
2
о/
2
>
sig n
w
(jc), дг £
2
' =
2
\
2
4/2.