И здан и е второе, стереотипное

Мы 
получим тогда
J | 
w
(дг) | 
dx =
О,
(
6
)
1) См., например, И. П. Н а т а н с о н , Теория функций вещест­
венной переменной, изд. 2-е, 1957, стр. 184.

---

равен ство
где справа стоит обычная (непрерывная) производная о т 
и.
Р авен ство 
( 7 ) показывает, 
что 
обобщ енная 
производная 
в 
этом 
случае сущ ествует и равна 
непрерывной произ­
водной
______ cftu______
дх^'дх*1 ...д х кт
1 
3 
т
Приведем некоторы е примеры.
П р и м е р I. Пусть Q — интервал (— 1, 1). Функция 
и
( * ) = | 
х
| 
имеет обобщенную производную м' (иг) = sign 
х.
Действительно, 
пусть 

£ ЗК"> (— 1, - f l ) , тогда 
у (х)
непрерывно дифференци­
руема на сегменте [— 1, + 1 ] и 1 
о 
I
J | 
х
| <р' 
(х) dx
= — | 
х
dx
-|-j
х o' (х) dx.
-1 
-1 
о
Интегрируя по частям, получим
1 
0 
1
1
$ | 
х
I tp' 
( х ) d x
= $ <Р 
( х ) d x
— J t f
( x ) d x = —
J
x d x ,
и наше утверждение доказано.
П р и м е р 2. Функция sign лг в интервале (— 1, 1) не имеет 
обобщенной первой производной (хотя она, как и функция |jc|, 
имеет непрерывную производную при 
хфО).
Чтобы в этом убе­
диться, составим интеграл
1 
о 
I
J
t' (х)
sign 
х dx —
— J
у’ (x) dx-\-^t'(x)dx = —
2
где « £ ЭИ"* (—1, 1).
He существует функции » (лг), суммируемой в интервале (— 1, 1) 
и при любой функции 
л г
)
£ ЭЯ"' (— 1, -}-1) удовлетворяющей 
тождеству
I v(x)
2<р(0). 
(9)
- i
Действительно, пусть такая функция сущ ествует. Тогда функция

---

абсолютно непрерывна на сегменте [— 1, I] и имеет в нем сумми­
руемую производную 
v
(
х
). Беря интеграл (9) по частям, в 
силу
формулы (8) почучим тождество, верное для любой функции <р ( * ) с
€ s i ' 1’ ( - » . + 1 ) :
-fci
t <р’ (
х
) [sign 
х
— 
V
(jc)] 
dx
= 0.
- 1
Но тогда ')
sign 
х
=
V (х)
- f const, 
х £
(— 1, -И)>
что нелепо, так как в точке 
х = 0
левая часть разрывна, а правая 
непрерывна.
П р и м е р 3. Пусть функции 
f(t)
и 
g(t)
непрерывны на сег­
менте [ —1, Г], но ни в одной его точке не дифференцир)емы. 
Можно доказать, что непрерывная в квадрате 0 s i
1 функ­
ция двух переменных
и (х) —а
(аг1, 
x j = f(X i)
+
g (х„)
(10)
не имеет обобщенных первых производных. Однако эта функция
д2а
имеет обобщенную производную второго порядка 
^ — , и эта
производная равна нулю. Чтобы установить это, достаточно доказать, 
что для любой функции ер 
(
л г
)
= ер 
(xlt' х3)
£ Ш1(8> (Q), где Q — квадрат 
— l s S j q , л:, ^ 1, справедливо тождество
x^d^h-3dXidX3==0‘
Но это тождество вытекает из цепочки равенств:
-И -Н
Ц
а{Хи Xs)d £ k dxidx>=:
■|/<**> {\
j " , + |
{
1
^ " - ' ' } ' " -
dx
о = 0.
-----1
Этот пример показывает, что из существования обобщенной произ­
водной какого-либо порядка не следует существование предшест­
вующих ей обобщенных производных.
х) См , например, В И. С м и р и о в, Курс высшей математики, 
т. V, изд 2-е, 1959, стр. 159, теорема 12.

---