Аналитическая геометрия координаты Аполлония

Глава 6
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Координаты Аполлония

В главе 5 мы условились, что если L — произвольная точка ко- нического сечения, то прямолинейный отрезок LK, проведенный параллельно прямой DE от точки L до диаметра GI конического се- чения, мы называем ординатой точки L. Линию GK от вершины конического сечения до точки K Аполлоний называл <отсеченной от вершины>. В средневековых латин-

ских переводах <Конических сечений> это выражение переводилось ex verticis abscissa, откуда произошел термин <аб- сцисса>, которым мы будем переводить выражение Аполлония <отсеченная от вершины>.
Роль оси абсцисс у Аполлония играет произвольный диаметр кони- ческого сечения, роль оси ординат — касательная к сечению в конце этого диаметра (рис. 20, а—в).
Уравнения конических сечений у Аполлония, как и уравнения Евкли- да и Архимеда, выражены словесно в терминах геометрической алгебры, в которых роль произведений двух ли- ний играют прямоугольники, стороны которых равны этим линиям, а роль произведений линий на себя играют квадраты, построенные на этих линиях. Так как эти выражения у Аполлония встречаются очень часто, он приме- нял их в сокращенном виде и называл прямоугольник со сторонами AB и BΓ
<под ABΓ> (hypo ABΓ), прямоуголь-

ник со сторонами AB и Γ∆ <под AB,
Рис. 20

Γ∆> (hypo AB, Γ∆), а квадрат, построенный на линии AB,— <над AB> (apo AB).
Евклид и Архимед связывали с каждым коническим сечением од- ну или две системы прямоугольных координат, Аполлоний связывал с каждым коническим сечением бесконечное множество систем коор- динат, определяемых диаметрами этого сечения, эти системы координат могут быть как прямоугольными, так и косоугольными.
В современной аналитической геометрии, основанной П. Ферма и Р. Декартом, системы координат не связаны ни с какими гео- метрическими образами. Хотя современная аналитическая геометрия существенно отличается от аналитической геометрии Аполлония, мы постоянно применяем термины <абсцисса>, <ордината>, происходящие от выражений Аполлония.
Аполлоний называл полученное им уравнение конического сече- ния словом symptoma, означающим <совпадение, случай>.


Координатный угол

Обозначим угол между плоскостью конического сечения и плос- костью основания конуса через β, а угол между плоскостью осевого треугольника конуса и плоскостью, пересекающей основание конуса по линии BC под прямым углом, через λ. Направим три взаимно ор-

тогональных единичных вектора ^−→i , ^−→j , ^−→k следующим образом: ^−→i —
по прямой BC, ^−→j — по прямой DE, ^−→k — перпендикулярно плоскости основания конуса, а также единичный вектор ⁻h^→ по оси конуса и еди- ничный вектор ^−→l по диаметру IG конического сечения (рис. 21).
Векторы ⁻h^→ и ^−→l можно записать в виде ⁻h^→=^−→j sin λ+^−→k cos λ, ^−→l =

— −
= ^−→i cos β+⁻h^→ sin β= ^−→i cos β+(^−→j sin λ+⁻k^→ cos λ) sin β. Поэтому ко-
синус угла ω, равный скалярному про- изведению ^−→l ·^−→j , запишется как
cos ω=^−→l ·^−→j =sin λ sin β. (6.1)
Формула (6.1) показывает, что си- стема координат Аполлония является прямоугольной только в тех случаях, когда угол β или λ равен нулю.
В случае, когда β=0^◦, плоскость конического сечения параллельна плоскости основания конуса, и кони- ческое сечение является окружностью, где диаметры перпендикулярны хор- дам, которые они делят пополам.
В случае, когда λ=0^◦, вектор ⁻h^→
совпадает с вектором ⁻k^→, и круговой ко-

Рис. 21
нус является прямым. Векторы ^−→l и ^−→j

ортогональны также в случае, когда плоскость конического сечения антипараллельна плоскости основания конуса, так как обе эти плоско- сти перпендикулярны плоскости осевого треугольника, и коническое сечение является окружностью.

Прямая и поперечные стороны

Уравнения конических сечений, найденные Аполлонием, выра- жаются теми же формулами (5.4), (5.5), (5.6), что и у его предше- ственников, однако геометрический смысл коэффициентов в уравнени- ях Аполлония отличается от геометрического смысла коэффициентов в уравнениях его предшественников.

Аполлоний называл линию 2p <прямой стороной> (orthia pleura, в латинских переводах latus rectum), так как эта линия, возможно, уменьшенная или увеличенная на некоторый отрезок, является одной из сторон прямоугольника, равновеликого квадрату ординаты неко- торой точки конического сечения. Аполлоний изображал линию 2p отрезком GF, перпендикулярным диаметру GI.
Аполлоний называл линию 2a <поперечной стороной> (plagia pleu- ra, в латинских переводах latus transversum), так как эта линия, изображаемая на рис. 19, в, г и рис. 20, б, в отрезками GH, является диаметром эллипса или двух противоположных гипербол.

Уравнение параболы

В предложении I₁₁ Аполлоний определяет прямую сторону пара- болы следующим образом. <Проведи линию GF под прямым углом к линии GI и пусть она будет такой, что ,,на BC“ относится к ,,под BAC“ как GF к GA> [25, т. 1,
с. 232], т. е. линия GF опреде- ляется пропорцией