Аналитическая геометрия координаты Аполлония

B C
^{A B} , ⁻V^→ — вектор с ко-

ординатами D и E. Оси конического сечения (6.33) направлены

по собственным векторам оператора Φ. Поэтому предложение II₄₇ является первой в истории математики задачей,
равносильной нахождению собствен- ных векторов линейного оператора.

Совершенный циркуль

Определение Аполлония кониче- ских сечений как сечений кругового конуса плоскостями под произвольны- ми углами было использовано персид- ским математиком X в. Абу Сахлем



Рис. 32

ал-Кухи при создании инструмента для вычерчивания конических се- чений. Этот инструмент, названный ал-Кухи <совершенным циркулем> (см. [11]), представлял собой циркуль, неподвижная ножка которого могла быть наклонена к плоскости бумаги под произвольным углом φ, а подвижная ножка, составляющая с неподвижной ножкой произволь- ный острый угол α, могла менять свою длину так, чтобы карандаш на конце этой ножки все время касался бумаги (рис. 32). Подвижная ножка циркуля при ее вращении вокруг неподвижной ножки описы- вает поверхность прямого кругового конуса, пересекаемого плоскостью бумаги, и карандаш на конце этой ножки при ее вращении описы- вает коническое сечение, являющееся пересечением плоскости бумаги с конической поверхностью.
Так как угол φ является дополнением угла β до прямого угла, из соотношения (6.23) вытекает, что эксцентриситет e конического сечения, начерченного совершенным циркулем, равен
e= ^{cos φ}. (6.34)
cos α
Арабские названия конических сечений являются перевода- ми греческих названий: в арабских трактатах парабола называется кат^с мукафи — <достаточное сечение>, эллипс — кат^с накис — <недо- статочное сечение>, <гипербола> — кат^с заид — <избыточное сечение>. В арабских трактатах прямая сторона конического сечения называлась дил^с каим, а поперечная сторона — дил^с маил. Эти выражения явля- ются переводами греческих терминов, соответственно, orthia pleura и plagia pleura. Последний термин означает и <поперечная сторона>, и <наклонная сторона>. Аполлоний понимал этот термин в его первом значении, но арабы перевели его во втором значении.