Аналитическая геометрия координаты Аполлония

GH ₌ AJ²


. (6.5)

GF BJ ·JC
Аполлоний получает уравнение (5.6) следующим образом. Пусть L — произвольная точка гиперболы DGE, из точки L проводится пря- мая LK параллельно прямой DE до диаметра GI гиперболы. Через точку K диаметра GI проводится прямая MN параллельно линии BC до сторон AB и AC треугольника ABC. Плоскость LKM также парал- лельна плоскости основания конуса, поэтому эта плоскость высекает из поверхности конуса окружность LMN, и здесь также имеет место равенство (6.3).

Рис. 23

Из соотношения (6.5) в силу предложения VI₂₃ <Начал> Евкли- да вытекает, что отношение GH/GF составлено из отношений AJ/BJ и AJ/JC. Из подобия треугольников ABJ и GMN вытекает пропор- ция AJ/BJ =GK/MK. Из подобия треугольников AJC и HKN вытекает пропорция AJ/JC =HK/KN. Отсюда следует, что отношение GH/GF составлено также из отношений GK/MK и HK/KN, т. е. из отноше- ний GK/MK и (HG+GK)/KN.
В силу предложения VI₂₃ <Начал> Евклида имеет место пропорция


GH ₌ GK²+GK ·GH _,

GF
т. е. в силу равенства (6.3)
MK ·KN

GH ₌ GK²+GK ·GH _{. (6.6)}
^GF KL²
Обозначим прямую и поперечную стороны гиперболы GF =2p и GH =2a и координаты точки гиперболы GK =x и KL=y. Поэтому пропорцию (6.6) можно переписать в виде


2a ₌ x² +2ax_,
^2p y²
что равносильно уравнению (5.6). В предложении I₁₂ угол BAC может не быть тупым. Поэтому Аполлоний заменил старое название кониче- ского сечения (5.6) <сечение тупоугольного конуса> новым. Поскольку в силу этого уравнения квадрат ординаты всякой точки этой кривой равновелик прямоугольнику, <приложенному> к отрезку 2p, увеличен- ному на отрезок xp/a, и имеющему высоту, равную абсциссе x этой точки, Аполлоний назвал это коническое сечение <избыток> (hyper- bole), откуда произошел термин <гипербола>.
В предложении I₁₄ Аполлоний доказывает, что пара противопо- ложных гипербол определяется тем же уравнением (5.6).

Уравнение эллипса

В предложении I₁₃ Аполлоний определяет поперечную сторону эллипса как его диаметр GH и прямую сторону эллипса точно так же, как прямую сторону гиперболы [25, т. 1, с. 240], т. е. пропорцией (6.5). Аполлоний получает уравнение (5.5) эллипса следующим обра- зом. Пусть L — произвольная точка эллипса GLH (рис. 24), из точки L проводится прямая LK параллельно прямой DE до диаметра GH эллипса. Через точку K диаметра GH проводится прямая MN парал- лельно линии BC до сторон AB и AC треугольника ABC. Плоскость LKM параллельна плоскости основания конуса, поэтому эта плоскость

Рис. 24

высекает из поверхности конуса окружность MLN, и имеет место ра- венство (6.3).

−
Из соотношения (6.5) в силу предложения VI₂₃ <Начал> Евкли- да вытекает, что отношение GH/GF составлено из отношений AJ/BJ и AJ/JC. В силу подобия треугольников ABJ и GMK и треугольни- ков AGC и HKN отношение GH/GF составлено также из отношений GK/MK и HK/KN, т. е. из отношений GK/MK и (GH GK)/KN.
В силу предложения VI₂₃ <Начал> имеет место пропорция