Аналитическая геометрия координаты Аполлония

x^× =−x, y^× =−y. (6.19)
Отражение (6.19) является произведением преобразований
x^× =x, y^× =−y, (6.20)
x^× =−x, y^× =y. (6.21)
В том случае, когда система координат прямоугольная, преобразо- вание (6.20) является отражением относительно оси Ox, а преобразо- вание (6.21) — относительно оси Oy.
Ось Ox является осью симметрии параболы (5.4), эллипсов (5.5) и (6.16) и гипербол (5.6) и (6.18).
Ось Oy является осью симметрии эллипса (6.16) и пары противо- положных гипербол (6.18).
Отражение относительно точек, приводимое к виду (6.19), и от- ражение относительно прямых, приводимое к виду (6.20) и (6.21), являются единственными инволютивными движениями евклидовой плоскости, т. е. такими движениями, произведения которых на себя являются тождественными преобразованиями. Поэтому точки и пря- мые линии евклидовой плоскости являются образами симметрии этой плоскости.
С каждой параболой связан единственный образ симметрии ев- клидовой плоскости — ее ось, с каждым эллипсом и парой противо- положных гипербол связано три образа симметрии этой плоскости — центр и две взаимно перпендикулярные оси.

Касательные к коническим сечениям

При выводе уравнений (5.4), (5.5) и (5.6) Аполлоний рассма- тривал только ось абсцисс конического сечения — один из диаметров этого сечения, абсциссы точек конического сечения — отрезки, отсе- каемые на диаметре от вершины сечения, и ординаты этих точек — половины хорд сечения, которые диаметр делит пополам. При выводе этих уравнений Аполлоний не рассматривал оси ординат — касатель- ной к коническому сечению в его вершине.

Эта касательная появляется только в предложении I₁₇. <Если в ко- ническом сечении провести из вершины этой линии прямую, парал- лельную одной из ординат, она попадет во внешнюю область сечения> [25, т. 1, с. 258]. Теорема доказывается от противного: предполагается, что прямая, проведенная из вершины A конического сечения парал- лельно ординатам, находится во внутренней области этого сечения. Тогда эта прямая пересечет коническое сечение в некоторой точке C. Но ордината точки C соединяет эту точку с некоторой точкой диаме- тра, находящейся во внутренней области сечения, и не может пройти
через вершину A. Аполлоний заканчивает доказательство этого пред- ложения словами о прямой, проведенной из вершины A параллельно ординатам: <Она попадет во внешнюю область и, следовательно, будет касательной к сечению> [25, т. 1, с. 258].
Здесь Аполлоний распространил на конические сечения определе- ние касательной к окружности, данное Евклидом в предложении III₁₆
<Начал>.
Аполлоний также распространил на конические сечения понятия внешних и внутренних точек и областей окружности. Под внешней точкой конического сечения он имел в виду такую точку, из которой можно провести касательную к сечению, а под внутренней точкой — такую точку, из которой касательную к коническому сечению провести нельзя.
В современной геометрии касательная к кривой определяется как предельное положение секущей при стремлении одной из двух точек ее пересечения с кривой к другой из этих точек. Определение Аполлония, по существу, совпадает с этим определением, так как при стремлении прямой, проведенной в направлении ординат конического сечения, к его вершине, эта прямая пересекается с сечением в двух точках, находящихся по разные стороны диаметра, и эти точки сливаются в вершине сечения.
Аполлоний снова рассматривает касательную к коническому се- чению в предложении I₃₂: <Если через вершину конического сечения провести прямую, параллельную одной из ординат, она будет ка- сательной к сечению, и никакая другая прямая не попадет между коническим сечением и этой прямой> [25, т. 1, с. 282—284].

Свойства диаметров конических сечений

В предложениях II₅—II₇ и II₂₆—II₄₃ доказываются теоремы о свой- ствах диаметров конических сечений.

В предложениях II₅ и II₆ доказывается, что если диаметр кони- ческого сечения делит пополам его хорду, то касательная к сечению в конце диаметра параллельна этой хорде.
В предложении II₇ доказывается, что если прямая линия делит пополам хорду конического сечения и касательная в точке пересече- ния ее с коническим сечением параллельна этой хорде, то эта линия является диаметром сечения.
Из предложений II₂₆—II₄₃ отметим следующие предложения.
В предложениях II₂₇—II₃₁ доказывается, что касательные к элли- псу в двух концах его диаметра и касательные к двум противополож-
ным гиперболам в двух концах их поперечного диаметра параллельны. В предложениях II₂₈ и II₃₆ доказывается, что прямая линия, со- единяющая середины двух параллельных хорд конического сечения,
является диаметром этого конического сечения.
В предложении II₃₇ доказывается, что два диаметра пары проти- воположных гипербол, из которых один поперечный, а другой восста- вленный, соединяющий центр с серединой прямолинейного отрезка, параллельного первому диаметру и находящегося между обеими ги- перболами, являются сопряженными диаметрами.
Аналогичное предложение о том, что два диаметра эллипса, из ко- торых второй соединяет центр эллипса с серединой хорды, параллель- ной первому диаметру, являются сопряженными диаметрами, Аполло- ний, по-видимому, считает совпадающим с предложением I₁₅.

Пары произвольных диаметров

В предложениях I₁₈—I₃₂ Аполлоний доказывает различные теоре- мы о взаимном расположении конических сечений и прямых линий;

в частности, в предложении I₂₆ он доказывает, что прямые, параллель- ные оси параболы, пересекают ее в одной точке.
Отметим предложения I₂₃ и I₂₅, в первом из которых рассма- тривается эллипс, в котором проведены два произвольных диаметра, и доказывается, что прямая, соединяющая две точки дуги эллипса,
находящейся между концами диаметра, при продолжении пересечется с продолжениями диаметров вне эллипса. Во втором из этих пред- ложений рассматривается тот же эллипс и аналогичное утверждение о касательной к эллипсу в одной из точек дуги, находящейся между концами диаметра.
В доказательстве этих предложений Аполлоний предполагает, что диаметры сопряженные, но обе теоремы верны для любых двух диаме- тров. Возможно, применение сопряженных диаметров является след- ствием того, что в аналогичной теореме предшественников Аполлония говорилось о <двух диаметрах> — о двух осях эллипса.
Уравнение конического сечения в системе координат, осями ко- торой являются два произвольных диаметра этого сечения, имеет вид