5-Вариант Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением

15-Вариант
1 ) Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:
a · b = |a| · |b| cos α
Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.


Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y} и b = {b_x ; b_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = a_x · b_x + a_y · b_y
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y ; a_z} и b = {b_x ; b_y ; b_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z
Формула скалярного произведения n -мерных векторов
В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a₁ ; a₂ ; ... ; a_n} и b = {b₁ ; b₂ ; ... ; b_n} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + ... + a_n · b_n


Свойства скалярного произведения векторов

1. 
   Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:
   

a · a ≥ 0

2. 
   Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:
   

a · a = 0 <=> a = 0

3. 
   Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:
   

a · a = |a|²

4. 
   Операция скалярного умножения коммуникативна:
   

a · b = b · a

5. 
   Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:
   

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b

6. 
   (αa) · b = α(a · b)
   
7. 
   Операция скалярного умножения дистрибутивна:
   

(a + b) · c = a · c + b · c