Аналитическая геометрия координаты Аполлония

GF ₌ BC²


. (6.2)

GA BA·AC

Аполлоний получает уравне- ние (5.4) параболы следующим образом. Если L — произвольная точка параболы DGE (рис. 22), из точки L проводится пря- мая LK параллельно прямой DE до диаметра GI параболы. Через точку K диаметра прово- дится прямая MN параллельно линии BC до сторон AB и AC треугольника ABC. Плоскость

Рис. 22

LKM параллельна плоскости основания конуса, поэтому эта плоскость высекает из поверхности конуса окружность LMN. В силу предложе- ния II₁₄ <Начал> Евклида имеет место равенство
KL² =MK ·KN. (6.3)
Из соотношения (6.2) в силу предложения VI₂₃ <Начал> Евкли- да вытекает, что отношение GF/GA составлено из отношений BC/BA и BC/AC.
Из точки G проведем параллельно линии BC прямую GP до пря- мой AC. Тогда треугольник AGP будет подобен треугольнику ABC, и имеет место пропорция BC/AB=GP/AG. Отрезок GP равен KN, сле- довательно,
BC ₌ KN_.
AB AG
Из подобия треугольников ABC и GMK вытекает пропорция


BC ₌ MK_.
AB GK
Поэтому отношение GF/GA составлено также из отношений MK/GK и KN/AG. Поэтому в силу предложения VI₂₃ <Начал> имеет место пропорция
GF ₌ MK·KN _.
GA GK ·AG
В силу равенства (6.3) имеет место также пропорция

GF ₌ KL²


. (6.4)

GA GK ·AG
Обозначим прямую сторону параболы GF через 2p, а отрезок GA — через r. Отрезки GK и KL являются абсциссой x и ординатой y точки L параболы. Поэтому пропорцию (6.4) можно переписать в виде


2p ₌ y² _,
r xr
что равносильно уравнению (5.4). В предложении I₁₁ угол BAC мо- жет не быть прямым. Поэтому Аполлоний заменил старое название конического сечения (5.4) <сечение прямоугольного конуса> новым. Поскольку в силу этого уравнения квадрат ординаты y всякой точки этой кривой равновелик прямоугольнику, приложенному к отрезку 2p и имеющему высоту, равную абсциссе x этой точки, Аполлоний назвал это коническое сечение <приложением> (parabole), откуда произошел термин <парабола>.

Уравнение гиперболы

В предложении I₁₂ Аполлоний определяет поперечную сторону гиперболы как продолжение GH ее диаметра GI до второй полости ко- нической поверхности, а для определения прямой стороны гиперболы он проводит прямую AJ параллельно диаметру GI до стороны BC тре- угольника ABC (рис. 23) и определяет прямую сторону гиперболы GF следующим образом. <Пусть линия GF будет проведена под прямым углом к диаметру GI, и пусть ,,над AJ“ относится к ,,под BJC“ как GH к GF> [25, т. 1, с. 236], т. е. линия GF определяется пропорцией