И здан и е второе, стереотипное

(
8
)
будучи элементом множ ества 
D(F).
она удовлетворяет такж е 
условиям (7 ). П одробн ее мы исследуем простейшую задачу 
вариационного исчисления в гл. 4.
В качестве примера рассмотрим задачу о брахистохроне. 
В данном случае 
_______
непосредственно сосл аться на уравнение (
8
) нельзя, потому 
что функция Ф терпит разрыв при и = 0 и, следовательно, 
не уд овлетвор яет условиям § 3. Д окаж ем , что уравнение (
8
) 
применимо.
П усть задача о брахистохроне имеет решение 
иа(х).
Из 
физических соображений ясно, что «о(лг
)^>0
при д г^ >
0
, —
в противном случае на некоторы х участках пути движущаяся 
материальная точка поднималась бы вверх, а на это затрачи­
вал о сь бы лишнее время.
На интервале (
0
, 
а)
возьмем произвольную точку 
а'.
П остроим функцию т,(л'Х обладающ ую следующими свойст-
вами: a) 
а]; б ) i j( j f ) =
0
,
а ,
O s ^ j t s £ a ';
в ) 
t j ( a ) =
0
; в остальном
х
функция 
1
} произвольна. Положим
о
1в
и пусть и (лг) — к0 ( х )
aTj (jc-) (рис. 6).
Е сли число а достаточно мало, то
Рис. 
6
.
и ( * ) >
0
, 
х
0
; кроме того , 
и
(
0
) =
0
, 
и\а) — Ь.
В
таком 
случае 
F ( u ) =
=
F
(ид -{-«■»)) Э г 
F (щ)
и функция переменной a
а'
а

---

имеет минимум при а = 0. Подынтегральная функция во в т о ­
ром интеграле (9 ) непрерывно зависит от л: и а, и можно 
дифференцировать под знаком интеграла:
г Г/г( и « + « т ) | . . 0 =
=
0 . 
( . 0 )
о '
Чтобы упростить рассуждения, допустим — на самом деле 
эт о нетрудно доказать, — что на сегменте 
[а\
а ] сущ ествует 
суммируемая с квадратом производная
- 1 (
j
L Т / l ± £ ! l l
dx[du’ Г 
и
Т о гд а первый интеграл в ( 1 0 ) можно взять по частям. И з 
определения функции tj (дс) вы текает, что tj (а ') =
-ц
( а ) =
0
, и 
внеинтегральный член исчезает. Мы приходим к р авен ству
C f A A l / ' l + к
’9
д
т /
1
+ ил
I [а х д * V
—
---------й
V 
и
■ц
(a t) 
d x
=
0
.
в = «о
Э то тож д ество верно для любой функции 
[а’, а\,
к) (а ') = т) (а ) = 0. 
М нож ество 
таких 
функций 
плотно 
в 
Li
(а ', а ) (ср . § 3), поэтому необходимо
Г 
d_
- j
Г
I -f - ц ' * ___
1
Г
1
\dxdu' V 
и 
ди У 
и
.
что совпадает с уравнением (
8
) для функции 
у
Уравнение (
1 1
) легко приводится к виду
— 
0
, 
(
11
)
Я=Во
a i
К 1« о (1 +
0
= °-
О тсю да
н ь(1 - j - uo”) = c-
П олож им
щ =
tg
щ —
=
+ co s 
2
;р)-
Дифференцируя, получим 
щ
= —
с
sin 2ip • <р'. Замена 
щ
= tg
f
дает дифференциальное уравнение отн оси тельн о <р'
dx 
q
sin 
2

---

Д алее,
d x =
— 2
с
c o s 3 ср с£<р; 
х — сх
—
~
(2ср - } - sin 2ер).
7
П о лож и в 2ср = те -|— 0, C t 
— j = C,
получим
х
= С —
2
" (6 — sin 6), 
a0 = | r ( l — co s 9).
Мы пришли к вы воду, что если задача о бр ахи сто хр он е 
имеет реш ение, то эт о решение есть ц и к л о и д а .