И здан и е второе, стереотипное

§
6
. И зо п ер и м етр и ч еск ая з а д а ч а
Изопериметрическая задача стави тся следующ им обр азом : 
даны функционалы 
F, Ои
Оа, . . . ,
0„
и постоян ны е 
1\,
4> • • •» 4» 
среди элементов области определения 
D (F)
функционала 
F,

---

удовлетворяю щ их уравнениям
Ок (и) = 1к, А = 1, 2, 
я, 
(1)
требуется найти элемент, доставляющий функционалу 
F
на­
именьшее значение. П остановка изопериметрической задачи 
требует, конечно, чтобы не было пустым пересечение
D0 = D (F)
П 0 ( 0 . ) П 
(1 ••• П 0 ( 0 „ ) .
( 2 )
Э то услови е д а л ее считается выполненным.
Частным случаем 
изопериметрической 
задачи 
является 
третья из задач § 1. З д есь я = 1 ,
ъ 
ь 
_____
F(u) — ^ u (x)dx, 
Q t(u )=
§ 
V I -\-u'3dx, lx = l.
a 
a
3 a
D (F)
м ож но принять множество тех функций из С [а, 
Ь],
к отор ы е обращ аю тся в нуль при 
х — а
и 
х — b
(у сл о ви е (5.1)), 
а за D ( G j) — м н ож ество функций из С (1) 
[а, b
], удовлетво­
ряющих тем ж е условиям (5.1). Очевидно, 
D (Q i)d D (F )
и 
пересечение 0 ( 0 , ) f| 
D(F) = D
(О .) не пусто.
Н иже будем считать, что функционалы 
F,
Gi, 0 2, . . . ,
0„
уд овлетворяю т требованиям 1— 3 § § 2, 3. П ересечение линей­
ных многообразий сам о есть линейное многообразие, поэтому 
сущ еству ю т элем ент Д £
D0
и линейное м н ож ество 
Ма
такое, 
что любой элем ент 
и
^ D
0
имеет вид 
и
= й 
т\,
£
Мй.
Будем считать так ж е, что множ ество 
М0
плотно в рассмат­
риваемом простр анстве.
С праведлива теорем а, принадлежащая Эйлеру и известная 
под названием 
правила мыожителей для изопериметрической
задачи.
Т е о р е м а 3 .6 .1 . 
Пусть элемент u0£ D 9 решает изо-
периметрическую задачу. Если существуют такие эле­
менты
Kj|, ij9, . . . ,
i\n 
Мй, что определитель
50