И здан и е второе, стереотипное

F (и)
= jj Ф 
(
лг
, 
u (лг), 
и'
(
х
)) 
dx
а
зададим на множестве 
С'01'{а,Ь\,
которое погрузим в гильбертово 
пространство 
Н,
определенное следующим образом: элементы про­
странства / / суть абсолютно непрерывные на 
[а, Ъ]
функции, равные 
нулю в точках 
а
и 
b
и имеющие суммируемые с квадратом первые 
производные. Скалярное произведение и норму в 
Н
зададим фор­
мулами
ь
(u,v)H — \ u ' ( x ) v '
(*) 
dx;
а
Ъ
|]Ы|||/ = 5 И" W
dx.
а
Функция 
Ф( х, и, и' ) 
непрерывно дифференцируема в области 
x £ [a,b\,
— о о < и < + оо, — оо < и' < + со. Найти выражение 
grad 
F
и область его определения.
2. Поставим изопериметрическую задачу: найти минимум функ­
ционала
1
Ф (и) = ^ 
[р (х)
+
q (х)
и*1 
dx
при условиях
1
« € С 1*’ [0 , 1], 
y * d x = \.
•Предполагаем, что 
р (х),р' (х), q (х)
£ С [0,1] и что 
р
(*)3=/>о =
= c o n s t> 0 ,
a q ( x ) ^ Q .
Положим
Un =
2
ak
s‘n 
^пх
* = I
и определим коэффициенты 
alt
в 2> . . . ,
ап
из условий
1 
п
§ ИД ( *)** =
2
“l==i
о

---

и Ф («л) — min. Доказать, что функции 
ип
можно построить и что 
они образуют минимизирующую последовательность для функцио­
нала Ф.
3. В упражнении 2 взять 
ип
равной
п
un = x { \ — X)
2
акх к,
л = 0 , 1, 2........
ft = 0
Коэффициенты 
а0, аи аг, ..., ап
по-прежнему определить из условий
1
j ы* 
(х) dx
= 1, 
Ф («„) = rnin.
Доказать то же, что и в упражнении 2.
3-1567

---

ФУНКЦИОНАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ о т Ч и с л о в ы х ФУНКЦИЙ 
ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Простейшая зад ач а вариационного'исчисления
Мы у ж е р ассм атр и вал и эту зад ачу в § 
4
гл. 3. Н апом ­
ним, что д е л о и дет о минимуме интеграла
ъ
F 0 0
= ^ ф (•*’ 
11
^ 
d x ’ 
( 1)
а
гд е ф ункция 
и ( х )
подчинена краевы м условиям
и(а) = А, 
и(Ь) = В,
(2)
А
и 
В
— за д а н н ы е постоянны е. О тн оси тельн о поды нтеграль­
ной ф ункции Ф ( х , 
и, и')
бы ло п р ед п о л о ж ен о , что она непре­
р ы в н а и им еет н еп реры вн ы е частны е п р ои звод н ы е по н и и' 
в 
обл асти
а ^ х ^ Ь ,
— о о
и
< - j - с о ,
— о о
н ' <
о о . ( 3 )
З а о б л а сть о п р ед ел ен и я 
D(F)
ф ун кц и он ала (1 ) бы ло принято 
л и н ей н о е м н о го о б р а зи е ф ункций из С (1) [а, 
Ь],
удов л етв о р яю ­
щ и х условиям (2); м н о го о б р ази е 
D(F )
мы рассм атривали как 
часть п р о с т р а н с т в а
Lt (a, b
). П ри этом о к аза ло с ь, что градиент 
ф у н к ц и о н ал а 
F
о п р ед ел е н на тех и то л ь ко тех функциях 
u ^ D ( F ) ,
для к о т о р ы х ф ункция
Фи’ 
{х,
И, 
и')
аб со л ю тн о н е п р е р ы в н а на сегм ен те 
\а, Ь]
и им еет такж е сум­
м ируем ую с к в а д р а т о м производную ; самый градиент о п р е­
д е л я е т с я ф о р м у л о й
(g ra d
F) (и) = Фи - £
Ф„>. 
(4)

---

У равнение Э й л ер а для ф ун к ц и о н ал а (1 ) сводится к д и ф ­
ф е р ен ц и ал ь н о м у уравнению
(g ra d
F) (и)
= Фц -
= 0
(5 )
с краевы м и условиям и (2). Таким о б р а зо м , если п ростейш ая 
зад ач а 
вари ац и он н ого исчисления им еет реш ен и е, то оно 
д о л ж н о
у д о в л етв о р я ть
д и ф ф ерен ц и альн ом у уравнению
(5) 
и краевы м условиям (2). Р еш ения у р ав н ен и я (5) обы чно на­
зы ваю т 
экстремалями
ф ункционала ( 1).
Н алож им на поды нтегральную ф ункцию Ф(лг, 
и, и')
н е к о ­
то р ы е д оп олн и тельн ы е ограничения. П о тр е б у ем , чтобы она 
имела в об ласти (3 ) непреры вны е ч астн ы е п р о и зво д н ы е п е р ­
в о го п о р я д к а по всем переменным 
х, и, и'
и частны е п р о и з­
водны е в т о р о го п оряд ка Ф*ц., Фац-, Ф„.* и чтобы Ф„<3 
ф
0. 
Д о к аж е м , что при эти х предп ол ож ен и ях к а ж д а я эк стр ем ал ь
ф ун к ц и о н ал а ( 1) имеет непреры вную в т о р у ю производную . 
Мы док аж ем вначале, что при сд елан н ы х нами п р ед п о л о ж е­
ниях о ф ункции Ф любая ф ункция из о б л а ст и D ( g r a d F )
, 
имеет 
почти 
всю ду 
вторую
п р ои звод н ую , 
сум м ируем ую
! 
с квадратом .
! 
П усть