И здан и е второе, стереотипное

u ^ D
(g ra d
F).
Тогда, тем бо л ее, 
u ^ D ( F )
и, сле- 
j 
довательно, u £ C (1) (a, ft]. В то ж е врем я ^ Ф й- ^ / . а (a, ft). О б о ­
значим
j 
Ф«- С*. 
и, и’) =
0) (J C ).
I
1 
П очти всю ду су щ ествует предел
! 
.. 
Фв' 
(х
+
Ах’
“ + 4и > 
+ Ди') — ф и' (■*> и, 
и')
, ч
1
нп ------------------------;------ — ----------------*------------- = ш (*•),
| 
Ах- 0
ах
зд есь 
&и = и ( х - \ - & х ) —
и ( х ); 
Дм' =
и ' ( х
- f- А х ) — и ' ( х )
П о ф о р м у л е Л агр ан ж а
Ф„, (х + Лх, 
и
+ До. 
и'
- f До') — Фд. 
(х
, 
и, и')
__
Дл:
=
®xu' ( х
- f -
9Длг, 
к - f - 6 Л « ,
и ’
- | -
0Ди') 
- { -
+ Ф«и' (•* +
и
-J- 0Д
и, и'
- f- бДн') 
~х
-J-
+ Ф»'2 
(X
4 - 0Ддг, 
и
+ бДи, 
и'
- f 0Ды') ■
— , 
0
<
в
< 1.

---

Н айд ем о тс ю д а ч астн о е 
это возм ож но, потом у что Фа'* 
Ф
ф
0. Д л я к р а т к о с т и письм а опустим аргум енты у вторы х 
п р о и зво д н ы х :
Аи'
1 
( Ф „ , ( * + Ддг, и + Д а , и ' - f Д а ') — Ф ц. 
(х, и, и')
Ax'
Ф ^ Г А 
Ах
П р и Д л г - * 0 правая часть последнего р ав ен ства почти всю ду 
им еет п р ед ел , равны й
Ф
и , и') \тх
ф “ ' 
к ,) -
фхи' { х ' 
цГ) ~
ф ““’( х '
“*
А
=
= ф—
С*) — ф *“' ( * »> « ') — ф ««' (*» м> “ ') “ '}•
Н о т о гд а почти всю ду сущ ествует вто р ая производная
= Ф „ .» ( £ « ; и') 1“ W “ Ф*“’ 
~ Ф““’ 
“ » 
“ '}•
сум м ируем ая с квад ратом .
Е сл и
и
— эк стр е м а л ь, то в силу уравн ен и я Э йлера = Ф„ (лт, и, и ') и
и " =
ф ц [2 ^
— ц .} { Ф „
{х,
и , 
и') — Фха-(х, и, иГ)
— Ф ао. ( х , и , гг') и '}
(
6
)
из о гр ан и ч ен и й , налож енны х на Ф, следует, что это есть
ф у н к ц и я, н еп реры вн ая на сегм енте 
[а, Ь].
У р а в н е н и е ( 6 ) п ред ставляет собой видоизмененную запись 
у р а в н е н и я Э й л ер а. Таким образом , в случ ае простейш ей з а ­
дачи 
в а р и а ц и о н н о г о
исчисления 
эк стр ем ал ь оп ред еляется 
и з д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о уравнения в т о р о го порядка. Е го общ ий 
и н т е гр а л с о д е р ж и т д в е прои звольн ы е постоянны е. О бозначим
о бщ и й и н т е гр а л через
д о л ж н ы б ы ть о п р ед ел ен ы из уравнений
<р (а , С и С2) —
А, 

(7)
в ы т е к а ю щ и х и з к р а е в ы х условий ( 2 ).

---

§ 2. Исследование второй вариации
В сл уч ае простейш ей задачи вар и ац и о н н о го исчисления 
в т о р а я вариация имеет вид
b
~
^ ф (дг, и ( * ) 4 -