И здан и е второе, стереотипное

§ б. Вторая вариация. Достаточное условие экстремума
Сохраним обозначения предшествующих параграф ов и рас­
смотрим функцию 
F(u-\~ а.
1
\)
от вещественной переменной а; 
элементы
u £ D ( F )
и 
ц £ М
считаем фиксированными. Эту 
функцию разложим в р яд Тейлора и в полученном р азлож е­
нии положим а = 1:
F ( « + ч) = F ( « ) + [ и F < « + »Ч )]. _ . + ! [ £ F ( “ + Ч
. - > =
= F ( « ) + SF(«, 
+
+
0 < » < 1 .
(1)
В ы раж ен и е
8 * F (к, 
ri) = ± [ ~ F
(и + ат|)]а _ q 
(2 )
н азы вается 
второй вариацией
функционала 
F
в то ч к е и. 
Имеем
Т
[ £ * р (ц
+ аЧ»=е =
4
[ f ! F (“ + ^ + И э = о =
s = 8 V ( n + H Т)),
и р азлож ен и е ( 1 ) принимает следующий вид:
/7( “ + 7)) = ‘Р ( м) + 8^ ( м> 7l) + 5 S f (и + Н Ч)> 
О < 0 < 1 -
(3 )
П у сть функционал 
F
достигает минимума, отн оси тельн ого 
или абсолю тн ого, в т о ч к е н0. Тогда 8 F (н<)> 7i) — 0> и фор­
мула ( 3 ) дает
F
(к
0
+
ti
) = F
(«о) +
8
*F («о +
Ч
*))• 
( 4 )
Ф ормула ( 4 ) п о зво л яет ср азу сф ормулировать условие, 
н еобходи м ое и д о стато ч н о е для того, чтобы эл ем ен т 
щ,
удо­

---

влетворяющий уравнению Эйлера, соо бщ ал функционалу мини­
мальное значение. Д ля абсолю тного минимума это услови е 
имеет вид
VF
(«о + 07], 
^ О, 
V 4 €
М>
( 5 )
для относительного минимума оно со ст о и т в том, что нера­
вен ство ( 5 ) выполняется, когда элемент 
ц
достаточно мал по 
норме. У слови е (5 ) в конкретных задач ах трудно проверить, 
потому что величина 
0
обычно неизвестна, и непосредственно 
им, как правило, воспользоваться не у дается. О днако из него 
можно получить более просто проверяем ы е условия, либо 
необходимые, либо достаточные. В частности, из соо тн ош е­
ния ( 5 ) вы текаю т следующ ие достаточн ы е условия минимума:
Т е о р е м а 3.5 .1 . 
Пусть элемент щ удовлетворяет
уравнению Эйлера. Если при
к) 
ф
0
вторая вариация функ­
ционала F положительна в любой т очке u ^ D ( F ) , то
этот функционал имеет в точке
и
0
абсолютный мини­
мум. Если при ■цфО вторая вариация положительна
в некоторой окрестности точки и0, то в этой точке
функционал имеет относительный минимум.
Д о к а з а т е л ь с т в о очень п р о сто . В первом случае при 
любом 
ц ^ М , цф О ,
имеем
8
aF ( a o + 07j, т г))>
0
.
Если 
и
— произвольный элемент из 
D(F),
отличный о т 
щ,
то, 
полагая т] = и —
щ,
найдем из (4 ), что F (и ) ^ / ^ (« o ). Р ассм о т ­
рим теперь второй случай. С у щ еству ет т а к о е число р ^ > 0, 
что при 
u ^ D ( F ),
||и — н
0
1 <СР и *1 ^ 0 буд ет 
8
* F
(и,
t j ) 0.
Возьмем такое 
и, и ф щ ,
и опять положим tq —
и
— и0. Т о гд а
F ( « ) = F(H 0) +
8
» F
(«0
+ ei1, ij).
Имеем
||(Mo_j_01)) _ Ho|| = |i071|| = |0|h | | ^ h ||= = | „ _ Ko| < p . 
О тсю да вы текает, что В
*/7
(и
0
0ij, -tj) 
0, и, сл едовательн о, 
F ( u ) > F < t o i