И здан и е второе, стереотипное

1
(•»)). Д опустим , ч т о в точ ке 
■*о£Е[а > 
&\ Р ( х
о)<СО. Т о гд а 
р ( х
) < ^ 0 на н е к о то р о м ин тер­
в а л е, с о д ер ж ащ е м т о ч к у jcq. 
А
то гд а найдутся сегм ен т [а, {■)],

---

со д ер ж ащ и й ся в этом интервале, и п олож и тельн ая п о ст о я н ­
ная 
р0
таки е, 
что р ( х
) < ^ —
рй,
д г ( ^ [ а , р]. П о л о ж и м т е п ер ь
О, 
а
^
х
а,
. 
о ПК(X
— а)
__ '__ '
ъ С * ) =
sin*
- а
О , 
р ^
х
^
Ь,
где 
я 
— н ату р ал ьн о е число. О чевидно, 
С " [а, Ь].
Имеем 
теперь
3
I
(Ч/.) = 5 
\Р
(■*) ч 'я 4 " 2
д
(х) 
т]„ц'п
- f
г 
(х)
т)5] 
dx.
а
Н еп р е р ы в н ы е функции 
д ( х )
и 
г ( х )
ограничены . П у с т ь
I
Я
(-*) I <С 
Чй<
| г (jc) | < г„, где <70 и г0 — постоянны е. Т о г д а
ПЧп) <
Ро 2ф — а)
“I-
“Ь г° $ — а)<
правая часть э т о г о неравенства о т р и ц а т е л ь н а при д о с та то ч н о
больш их 
п.
Т ео р ем а доказана.
В правой части равенства ( 1 ) возьм ем п о частям в т о р о й
интеграл. И м ея в виду, что i) ( а ) = ■/) 
{Ь)
= 0, получим 
ь
8
* F
(и, 
tj) 
=
-1 ^ 
+ (ф«* — 
^
Ф«»') 
-Л9]
dx;
(4)
а
мы пред п олагаем при этом, что ф у н к ц и я 
Фаи- (х,
н (
х), и'(х))
имеет н еп реры вн ую производную по 
х.
Т еп ерь м ож но ук азать прием, к о т о р ы й при вод и т к с р а в ­
нительно п р о сто проверяем ом у д о с т а т о ч н о м у условию м ини­
мума ф ун к ц и он ал а (1). П ри ум нож ении ф ун кц и и к] на п о с т о я н ­
ную 
с
вто р ая вариация ум нож ается на 
с%
— это с р а зу ви д н о 
из ф орм ул ы (4). П оэтом у достато ч н о , чтобы 8®/г (и, т ) ) ^ > 0
для таки х т) £5 
С ‘0"
[я, 
Ь],
что ||т ] || = 1. П о стави м сл едую щ ую
вариационную задачу: считая 
и
— м0, гд е 
щ
— р еш е н и е у р а в ­
нения Э й лера, найти функцию >), р еа л и зу ю щ у ю минимум ф у н к ­
ционала
$ [
+ (Ф«* - ^
 Ф
u u j  Ч* ] d x
при к р аевы х услови ях
т,(а ) = т](Л) = 0

---

и изопериметрическом условии
l h l P = h 9 C * ) ^ = i -
а
Е сли этот минимум окажется положительным, т о при любом
7] 
£
С '1’ 
(а, Ь\
т) 
0, будет 89F (n 0, т]) > 0, и функция и0 реа­
лизует минимум функционала (1).
§ 3. С л уч ай м н о ги х н езав и си м ы х п ер ем ен н ы х
Рассмотрим конечную область 2 в 
т-
 мерном евклидовом
пространстве. Будем считать, что граница Г области 2 с о ­