И здан и е второе, стереотипное

дачи
(
2
) — (3 ) и v0 £ C w  (
2
), то эта функция удовлетво­
ряет дифференциальному уравнению
(
1
).
Как показывает соотношение (4), область определения 
D (
Ф) функционала Ф представляет собой линейное много­
образие (см. §
2
гл. 3) функций вида: v — ф - ) - и, и £ Н%. 
Положив v —
=
можно написать также 
и = т>в-)~
71
> 
Так как 
доставляет функционалу Ф минимум, 
т о в точке v
0
вариация этого функционала равна нулю 
(см. § 4 гл. 3)
5Ф(%'»1) = 0. 
(9)
Функционал Ф — однородный квадратичный. Отсюда легко 
вывести, что
8
Ф (и, Tj) = 2Ф (v, 
7
)) = 2 J ( л ;А щ j-L  - j . Сг»т|] dx.
Таким образом, уравнение (9 ) равносильно следующему:

Зададим число 
8
0, построим пограничную полоску 2 а 
ширины 
8
и в качестве rj возьмем функцию, финитную в 
2
\
2 8 
и равную нулю в 
2
5; такая функция, конечно, финитна и в 
2
.
В уравнении (10) отбросим равный нулю интеграл по 2 в
$ 
[ А ^
к щ
+ € ^
] й х : = = 0 -
s \ a { 
'
Первый член возьмем по частям, освободив т) от диффе­
ренцирования. При этом поверхностный интеграл исчезнет, 
потому что т) =
0
на границе области 
2
\
2
г, и мы получаем
$ [ - 4 ( л" ё ) + а , " ] 'А = 0 - 
(и )

---

Множество финитных 
функций 
плотно 
в 
Z.a( 2 \ 2 5). 
С другой стороны, раз функция v0 £ С (з) (2 ), то выражение в 
квадратных скобках в интеграле (
11
) есть элемент простран­
ства L
4
( 2 \ 2 s). Будучи ортогональным к плотному множеству 
финитных функций, указанное выражение тождественно равно 
нулю; это значит, что в области 
2
\
2 5
функция г
>
0
удовлет­
воряет уравнению
I Но 
8
можно взять сколь угодно малым. Отсюда следует, чтЬ 
уравнение (12) удовлетворяется всюду в 2 . Теорема дока­
зана.
Теорема 14.5.1 делает целесообразным следующее опре­
деление.
Функция v0 
(
jc
), 
решающая вариационную задачу (2 ) — (3), 
называется обобщенным решением задачи Дирихле (1) — (2). 
Слово «обобщ енное» мы часто будем опускать.