И здан и е второе, стереотипное

§ 3. Э нергетическое п р остр а н ств о задачи Дирихле
С оператором St задачи Дирихле, как и со всяким по­
ложительно определенным оператором, можно связать свое 
энергетическое пространство /% . Исследуем его ближе.
Т е о р е м а
14.3.1. Энергетическое пространство Нщ 
состоит из т ех а только тех функций, которые
1
) в 
2
квадратично суммируемы и имеют квадратично сумми­
руемые обобщенные первые производные,
2
) удовлетворяют 
краевому условию
(
2
.
6
)= в следующем смысле: если 
то существует последовательность функций
(13)
(14)
(15)

---

таких, что
В пространстве Н% энергетические произведение и норма
определяются формулами
[и,
г»]„ =
<з)
Докажем сперва, что если функция и ^ / % , то эта функ­
ция обладает свойствами, леречисленными в теореме.
Функция h ^ Z .
4
(2 ) — это сразу следует из теоремы 5.3.1,. 
по которой всс элементы энергетического пространства Н<& 
принадлежат исходному пространству jL
9
(
2
).
Как и 
всякое пространство, 
полученное пополнением, 
энергетическое 
пространство Н% состоит из старых, эле­
ментов— в данном случае элементов из области D (? l) — и 
из идеальных элементов. Если и — идеальный элемент, то 
существует последовательность { и„ } старых элементов таких, 
что
И
и„ - а й 
О, 
| пп - и fa —
0. 
(4)
Пусть пока и и v — старые элементы. Применяя первую 
формулу Грина (формула (6.5) гл. 10) а учитывая равенства
(2.9), получим
[и, * ] „ = (Я «, v) = J (Aj„ 
^
+ Cuv) dx.
Но A jk = AhJ, и последний интеграл совпадает с интегралом 
в формуле (
2
), которая тем самым оказывается верной для 
старых элементов.
Полагая в формуле (2) v = tt, видим, что для старых 
элементов верна и формула (3).
Пусть теперь и — идеальный элемент пространства Нц. П о­
строим послеаовательность элементов н„ ^ £)(?()> я =
1
> 
2
. • • •
так, 
чтобы 
имели 
место формулы (4). Вторая 
из 
этих