И здан и е второе, стереотипное

С
(я ) ^ С
0
= const 
0.
— Д u = f ( x ) ,
и
|г =
0
.
О)
(
2
)
‘ ) Подробнее о сильно эллиптических системах см. статью 
М. И. Вишика [2].

---

положительно определенный. Составим скалярное произведение
(33и, v ) ~  — ^ uhkV dx. 
(3)
я
Функция « (ж ) отлична от нуля только в некоторой ко­
нечной области, по которой фактически и берется интеграл 
(3). Поэтому к интегралу (3) можно применить формулу 
Грина (формула (
6
.
8
) гл. 10). Приняв во внимание, что на 
границе упомянутой области и =  
0
, получаем
т ,
„ ) =
J 
w k $ r h d x '
я
и оператор © симметричен. При v — u имеем
т
ф а , и ) = \ 2 Ш
а х ^ ° -
(4)
5 *=
1
Если (фи, и)—  
0
, то, очевидно
^
=
0
, 
£ =
1 ,2
и
и(х)
= const.
Н о и |г = 0, поэтому и ( х ) = 0. Положительность оператора 33 
доказана.
В бесконечной области Q с конечной границей можно 
расположить куб со сколь угодно большим ребром а. Си­
стему координат выберем так, чтобы куб определялся нера­
венствами
0
^ x k ^ a ,
k =
1
, 
2
, 
. . . , т.
Рассмотрим функцию
т
| | sin ^ 
внутри куба,
иа ( * ) =
(5 )
* = i
О 
вне куба.
Очевидно, иа(х ) £ D(93). Простой подсчет показывает, что 
(Ш а,иа) _ с

---

Отсюда
и, следовательно,
Равенство (
6
) означает, что 0 не положительно определен­
ный оператор.
В соответствии со сказанным в § 10 гл. 5, с оператором 
58 можно связать энергетическое пространство / % . Так как 
оператор 33 только положителен, то не все элементы про­
странства Н g принадлежат исходному пространству 
(
2
). 
Можно доказать (предоставляем сделать эт о читателю), что 
пространство Н% состоит из тех и только тех функций, к о ­
торые: 
1
) определены почти всюду в 
2
; 
2
) имеют обобщ ен­
ные первые производные, квадраты которы х суммируемы в 
2
; 
3) удовлетворяют краевому условию (
2
) в следующем смысле: 
если 
и 
Нц,
то существует последовательность функций
{ и „ ( х ) }, и „ ( ^ С ( , ) ( 2 ) таких, что нл (лг) = 0
н а
поверхности Г
и при достаточно больших |х|, и удовлетворяющих соотн о­
шению
т
j
i
2 А = 1
Как это было доказано в § 10 гл. 5, задача (1 )— (2) имеет 
обобщенное решение тогда и только тогда, когда функцио­
нал (и, / ) , где и