И здан и е второе, стереотипное

§
6
. О сущ ествован и и втор ы х п рои звод н ы х решения 
задачи Дирихле
Т е о р е м а 14.6.1. Обобщенное решение задачи Дирихле 
в конечной области
2 для однородного уравнения Лапласа 
с неоднородным краевым условием есть функция, гармо­
ническая в
2
.
Для уравнения Лапласа A]k = bJk, С = 0, и тож дество
(5.10) принимает вид
Мы заменили здесь обозначение х  на Е.
Возьмем произвольную точку х  £ 2 и положим в равенстве 
(1) 7] 
=
шл (г), 
где г 
=
|
Е —
х
|, 
а 
юл —
усредняющее ядро 
(§
1
гл. 
1
); радиус усреднения h следует взять меньшим, чем 
расстояние от точки х  до Г — границы области 2 , — тогда 
шЛ (г) |г = 0. Функция шл (г) зависит только от разности 
Е 
— х , 
поэтому
(
12
)
(
1
)
д<*н (г) _ _
(г) 
dS* 
дхк •

---

и тождеству (
1
) можно придать следующую форму:
П о теореме 2.2.1
и, следовательно,
Дг»ол = 0. 
(2 )
Если Л -» -0, то к
0
й ->-г
10
в метрике Ц (И ) (теорема 1.3.3). 
П о теореме 11.9.2 функция г»
0
(х ) гармонична в 2.
Т е о р е м а 14.6.2. Если / £ j j C (
1
) ( 2 ) я « о ( х ) есть обоб­
щенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа
— Ди == / (х), 
и |г =
0
, 
(3)
то щ (х)
£ Cw  (2).
Введем в рассмотрение объемный потенциал
=
— 
2
) | S j 
Из результатов § 
6
гл. 11 вытекает, что
ф £ С (
1
) (
2
) П С (а)(Й)
и что — Д<]> = f ( x ) .
Функция гг
0
(дг) решает задачу о минимуме функционала
F ( u ) =
т
ди
\» 
„ ,
.35 -
- Л = 1
<#, 
и
£
поэтом у вариация функционала F  в точке щ равна нулю: 
bF(u0,
ч ) = 2 $ [ ^ ^ - _ / ч] <й = а
v ^ g / % .
Сделаем замену щ —  v
0
-j- ф
SG&fc+SU-*]*-* 
W

---

В тождестве (4) положим т| = u>ft (г), где 
— усредняющее 
ядро, г —  
j 
? —
j c
[> х  — точка области 
2
и радиус усреднения 
h
меньше, чем расстояние от точки х  до Г — границы о б ­
ласти 
2
.
Второй интеграл в (4) возьмем по частям:
j
% W ,
1 
^ 157 “!Г = J «
интеграл п о 'Г , очевидно, пропадает. Тож дество (4) прини­
мает вид
= о.
о£* дчк
Те же преобразования, что и в предшествующей теореме 
дают, что ДиОЛ = 0 и, следовательно, функция г
>
0
гармонична 
в 2 . Тем более, г
>
0
£ Cw  (2). Но тогда и н
0
= (и
0
-j- 
(2 ).
Теорема доказана.
З а м е ч а н и е . Известны более сильные теоремы о дифферен­
циальных свойствах обобщ енного решения задачи Дирихле, чем 
теорема 14.6.2. Сформулируем некоторые из них. 
_
1. Если в уравнении (3) функция 
f ( x )
удовлетворяет в 
Q
усло­
вию Липшица с показателем 
а,
0 < с а < 1 , то в торы е производные 
обобщ енного решения и0 (дг) удовлетворяю т том у же условию в 
любой внутренней замкнутой подобласти.
2. Если / £
Lp
(Q), 1 
< р < с о ,
то функция и 0 имеет всевозм ож -
ные вторые обобщ енны е производные 
£
Lp
(2 '), где 
2 ' —
произвольная внутренняя подобласть Q.
О бе эти теоремы вытекают из свойств объ ем н ого потенциала, 
сформулированных в замечании к § 6 гл. 
11 (стр. 240— 241). Под­
робнее об этом см. {12].
§ 7. Эллиптические уравнения высших порядков 
и системы уравнений
Вариационный метод позволяет решать задачи, значительно 
более общие и сложные, чем задача Дирихле для эллипти­
ческого уравнения второго порядка. Для примера рассмотрим 
первую краевую задачу (с однородным краевым условием) 
для эллиптического уравнения, порядок к о т о р о го выше двух.
В самом общем случае можно записать формально само­
сопряженное уравнение порядка 2s в пространстве Ет в

---

следующем виде:
У ( _
r d- 
„
и у г ' т
г - * " . ^
W ( x ) .
U d x iidxii...dxi k \ i j r -’ к ’ dxh dxj i ...d xjt) ) 
K '
(
1
)
Суммирование во внутренней сумме производится по все­
возможным наборам индексов 
/а, . . 1к и у,, j\ ,. . j k, 
каждый из которы х независимо от других пробегает значения
1, 2 , . . . , т. Коэффициенты А ‘1.1у " ’к 
не меняются ни при
каких перестановках верхних или нижних индексов, а также 
если поменять местами все верхние и все нижние индексы.
Как и в случае уравнения второго порядка, принадлеж­
ность уравнения (
1
) к эллиптическому типу определяется 
поведением его старших коэффициентов, соответствующих 
значению индекса k = s. Уравнение (1) называется невы-